particulier de l'ellipse, s'obtient en coupantle cône ou le cylindre droits perpendiculaire-ment à l'axe.

Toute section dont le plan posse par l'axe ducône ou du cylindre se réduit à deux lignesdroites qui se coupent nu soin met du cône ouqui sont parallèles a Taxe ducy indre.

Si l'on considère un cône ou un cylindreobliques dont la base est un cercle, les sec-tions parallèles à la base ne sont nas les seulesqui soient circulaires. Kn menant un planpar l'axe et par celui des diamètres de la basequi fait avec l'axe l'angle maximum, ou a lasection méridienne ; et toute section per-pendiculaire à cette dernière, et menée demanière A faire avec l'axe un angle égal à ce-lui que fait la base, mais en sens contraire,est un cercle tille porte le nom d 'anti-pa-rallèle ou de sous-contraire.

PllOPUIKTÉS COMMUNES AUX SECTIONS CON’IQCES.— L’ellipse, l'h\perbole et la parabole jouis-sent de propriétés communes très-remarqua-bles dont voici les principales:

1® Si, par un foyer d'une section conique,on élève une perpendiculaire à l'axe qui passepar ce foyer, et qu’on mene à la courbe deuxtangentes qui se coupent en un même pointde la direction de cel axe; la droite perpendi-culaire à l'axe qui passe par le point de ren-contre des deux tangentes , est telle que lerapport entre le rayon vecteur mené d'unpoint quelconque de la courbe au foyer, etla distance de ce point à la droite, est con-stant.

Ce rapport est plus petit que l'unité pourJ'ellipse; il est pins grand pour J'byper-bole ; égal à l'unité pour la parabole.

on peut donc dcUnir une quelconque dessections coniques eu disant que ce sont descourbes telles que le rapport des distances dechacun de leur» points à un point lixe, appeléfoyer.a t à une droite lixe, appelée directrice ,est constant.

2° On peut dire encore que In somme ou ladifférence de la distance de chacun des pointsde ces courbes au foyer, et d'un certain mul-tiple de la distance de ce monte point à unedroite lixe l qui n'est plus ici la directrice etqui passe par un foyer), est constante.

3® Si de tous les points d'une droite situéedansée plan d'une section conique, on mènedes tangentes à cette courbe, et qu'on joignepar des droites les point-, de contact des deuxlanguîtes menées u'unmèiue point, toutes lescordes de contact se couperont en un pointunique, appelé pôle de la droite, sur le dia-mètre qui divise en deux parties égaies lescordes parallèles à la droite donnée. Celle-ciporte le nmu de polaire du point par rap-port à la section conique donnée.

Et réciproquement,si, d’un point situé dansle plan d'une section conique, on mène unnombre quelconque de sécantes, puis des tan-gentes à la courbe par les points où ces sé-cantes la coupent, les tangentes qui se rap-portent à la même secaute iront concourir euun point d'une droite parallèle à la directiondes cordes que divise en deux parties égalesle diamètre passant par le point donne.

4° Si Ion imagine, dans l'intérnur d'uncône droit, prolongé s'il est neees-aire. deuxspheres qui soient tangentes à la fois à la sur-face du cône et à un plan sécant qui y déter-mine une ellipse ou une hyperbole, les pointsde contact de ces spheres mec le plan sécantsont les foyers de la courbe et les plans déter-minés p u les courbes de contact de la sphèreet du cône coupent le plan de la courbe sui-vant les directrices

Dans le cas de la parabole, on ne peut me-ner à l'intérieur du cône qu'une seule sphèrequi touche à la fois le cône et le plan coupant;et cette sphère détermine le foyer et la direc-trice unique.

La connaissance des principales propriétésgéométriques des sections coniques, et peul-elre même la considération de ces courbes,est due au divin (Maton et à son erote. detteconnaissance a paru pendant près de deuxmille ans un objet de simple curiosité, jus-qu'au jour où l'illustre Kepler a trou'é que lesplanètes se meuvent dans des ellipses dont lesoleil occupe un foyer, reu après Newton agi-néraiise la découverte de Kepler, et en adéduit la loi de l'attraction universelle.

Oet exemple est bien propre à confondrelesespnis superficiels disposés à mépriser desétudes scient.üques qui n’offrent pas encored'applications immédiates.

§ 13. Des principales surfaces courbesautres que celles des trois corpsronds.

La sphère, le cône et le cylindre droits, telsqu'il> ont été definis dans le S 3, ne sont que descas particuliers d essurjaces de révolution.On appelle ainsi toutes celles qui sont décritespar le mouvement d'une ligue autour d'unaxe fixe.

Tout plan qui passe par l'axe porte le nomde plan méridien.

Ou peut enc re considérer les surfaces derévolution comme produites par le mouve-ment d'une circonférence, dont le centre restesur l’axe, et dont le rayon varie de maniéréque son exirémité passe toujours par un punitde la ligue génératrice ou de la ligue méri-dienne.

Parmi les surfaces .de révolution, on dis-tingue einore VeUipsoïde, Vhyperboloïde etle paraboioide de révolution,produits parlemouveiuem d'une ellipse autour rie son grandaxe, dune hyperbole autour de sou secondaxe, ei d'une parabole autour de sou axe.

Les surfaces annulaires , pioduites par larévolution d'une courbe plane ferniee autourd'un axe extérieur, mais situé dans le mêmeplan, sont comprises daus les surfaces de ré*vouuon.

Le tore engendré par le cercle est la plususitée des surfaces annulaires. La plus simpledes alliances que l'on porte au doigt est untore.

Toute surface de révolution peut être exé-cutée sur le tour au movyn d'un guide conve-nable.

Les cloches, les sonnettes, les tonneaux, unefuule de vases du faïence et de porcelainesont termines par des surfaces de révolution.

Le cylindre druil ou oblique n’est encore qu'uncas part iculier des surfa ces cylindriques, quel'on peut considérer comme'engendrées parune droite mobile qui reste parallèle à unedirection donnée eu glissaul sur une direc-trice tlxe.

Le cône droit ou oblique n'est aussi qu’uncas particulier des surjuces coniques pro-duites par le mouvement d'une droite qui,passant toujours par un point lixe , s'appuieconstamment sur uue directrice donnée.

Les surfaces candides sont engendrees parune droite mobile assuje-tie à rester paral-lèle à un pl n donné et a s'appuyer constam-ment sur une droite (ixe et sur uue courbequelconque.

On donne le nom générique de surfacesréglées à celles sur lesquelles on peut nppli*