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SURFACES EN GENERAL. PROJECTIONS.

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quer une règle en certains sens. Toute surfaceengendrée par des ligues droites est donc ré-gie*».

Une surface réglée est développable lorsquedeux éléments rectilignes inliuiment voisinspeuvent etre cousniérés comme dans le memeplan, et que la surface entière peut être dé-roulée sur un plan.

Une surface réglée est gauche dans le cascontraire.

I.es surfaces cylindriques et coniques sonttoujours développables; les surfaces couoï-des sont généralement gauches. La su-faceengendrée par une droite qui glisse sur deuxdirectrices quelconques eu restant cousiam-naent parai,éie à un plan üie est gauche, lienest de même déjà surface engendrée par unedroiie assujettie à se mouvoir sur trois direc-trices quelconques.

Pour concevoir ce dernier mode de généra-tion, il faut -e Ugurer qu un point quelconqued'une des directrices soit pris pour sommetde deux sulfures coniques déterminées par cesommet et par les autres directrices; l'inler-scclion de ces deux surfaces sera une liguedroite qui s'appuiera uécessaiiemeni sur cesdeux directrices. En répétant c« tle construc-tion pour un point quelconque de la premièredirectrice, on aura oom- ta position • ot respon-danie d'une génératrice qui s'appuiera con-stamment sur ies trois dm-cirices.

Les aiies des moulins à vent offrent à peu dechoses près l'exemple de surfaces gauches atrois directrices droites.

Les versons ou oreilles des charrues sontdes stuTaces gauches analogues à Celles desmoulins à veut.

Les surfaces enveloppes présentent le modele plus (.eneral de génération des .'Urfaees.Si lou suppose une surface quelconque qui6e meut dans l'espace eu variant de grandeuret de position, suivant des luis déterminées,la surlace qui set ail «a trace de toutes ces po-sitions consécutives portera ie noui de surfaceenveloppe.

Le tore, par exemple, est l’enveloppe detoutes les positions que prend une sphère ftrayon constant, dont le centre se meut surune i ircuuference de cercle.

l.e cône est l'enveloppe de toutes les positionsque prend une sphère dont le centre se meutsur une ligne dioite, et dont le rayon estdans un rapport constant avec la distance ducentre à un point iixe pris sur cette droite.

H M. Eléments de géométrie descriptive.

Méi uouf. dk s projections. Monge a donnele nom de géométrie descriptive à des mé-thodes qu'il a, sinon neees, au moins reunieseu un corps de doctrines et singulièrementperfectionnées , et qui ont pour nul soit dereprésenl. r toutes les formes extérieures descorps, soit de résoudre sur les ligures considé-rées 11 uus l'espace, à t'aide de consirui tiouseffectuées seulement sur un plan, tous lesproblèmes qui peuvent se présenter.

Pour parvenir à ce douole but, et d'abordpour lepré-enier les corps, la géométrie des-criptive emploie la méthode des projec-tions.

On appelle projection d'un point sur unplan, le pied de la perpendiculaireauaissvc dupoint sui l<- plan.

Lu projection d'une droite A est la droitetirée sur le plan de projection par h s projec-tions de deux points de A. C’est l'iniersectioudu plan pwjetunt mené par la droite A per-pendiculairement au plan de projc tuin.

Généralement In projection d'une courbeqmIconquc AMU {11g. <01) est la suite a/ub

des pieds des perpendiculaires ha , M m

cette surface prend le nom de cylindre proje-

tant de la couibe A Mit.

Si l'on projette la courbe AMU sur un se-cond plan SX, perpendiculaire nu premier HXl'ensemble des deux projections amb, a'm'b'détermine complètement la courbe AMBdans l'espace. Car cette courbe esi l’intersectiondes deux surfaces cylindriques droites qui ontpour directrices les projections amb, a'm'b' etpour génératrices des «boites respeciivementperpendiculaires aux plans de ces projections.

Pour que les constructions relatives aux li-gnes dans l’espace puissent s'effectuer sur unmèmeplnn, il sufUt d’imaginer que le planvertical VX Wg. HSJ) ait été rabattu de gauche

à droite sur le plan horizontal fIX, en tour-nant autour de leur intersection commune\\ comme charnière. Alors tous les points/«’ du plan vertical ont décrit des arcs decercle m'm", et les rons 1 mêlions graphiquespeuvent être effectuées sur une meme feuillede papier v'XH qui prend le nom d 'épureMais ce rabattement n'est admis que commemoyen d'exeeuimn; et toutes les fois qu'onveut se rendre compte d'une operation pardes construirions géométriques, on doit, parla pensée, relever le plan vertical, et se leUgurer louiours dans une situation perpendi-culaire au plan bonzontal.

Les projections m et m" d’un même point M