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«baissez une perpendiculaire sur le plandonné I problème IX); par celle perpendicu-laire et par la droiie donnée , faites passer unplan I problème IV ) , ce sera le plan de-mandé.

Problème XIT. Suivant un point donnépar ses projections mener un plan perpendi-culaire a l u fois à deux autres plans détermi-nés par leurs traces?

Cherchez riuterseclion lummune des deuxplans donnés ( problème VI j ; et par le pointduiiné mene' un plan perpendiculaire à cettedroite (problème XII).

Problème X y. Ktant données les projec-tions de deux droites qui se coupent, déter-miner l'angle de ces deux droites ?

Déterminez les traies des droites données(problème I i). Soient u et 'V (flg. H5i ces traces

?ur I» plan vertirnl, A «i h sur le plan hori-zontal , uv et kk sont les (races du plan quicontient les droites données et se rencontrenten un même point m de la ligne de terre.

Menez par un point quelconque s de la li-gne de terre si perpendiculaire à XY et st'perpendiculaire à ;;t/<A\puts st" perpendicu-laire à st' et égale ft st. Tirez rt", prenezrt' = ri" et joignez mt'. Prenez enfin t'u'zztu et t'v'zztv et tirez Av’et bu' vous aurezen rabattement 'es droites données Av’, ku'dont l'angle kok sera par conséquent l'anglecherché.

Problème XVI. Etant données les trace*de deux plans, déterminer l'angle dièdre deces plans?

Cherchez l'intersection des deux plans don-nés (problème VII ; par un point quelconquede celle intersection, menez des droites per-pendiculaires à ces plnus (problème IX) : l'an-gle de ces perpendiculaires>era le supplémentde l'angle de ces plans, et le problème est ainsiramené au précédent.

Pnoni.KMKS sir les tiiieures. — Trois des sixquantités (angles dièdres et angles plans ) quiconstituent un Irièdre einm données, on peutse proposer de trouver les trois autres par desconstructions planes.

Observons d'abord que, si, d'un point prisdans rimerieur du trièdre, on abaisse desperpendiculaires sur les trois faces, les troisangles plans formés par ces perpendiculairesconstituent un nouveau irièdre qui est ditsupplémentaire du premier, l es deux triè-dres jouissent de celle propriété remarquableque rsngle dièdre de chacun d'eux est égal ausupplément de l’angle plan correspondant de

l'autre. On peut dune, par la considération duIricdre supplémentaire, réduire à trois problè-mes distincts les six oui se présentent d'a-bord lorsqu'il s'agit de déterminer trois deséléments d'un trièdre par la connaissance de^trois autres.

fo Etant données les trois faces planesA'SA, AS B, BSA" (fig. 115 A/.ç), qui composent nuangle solide, et que l'on suppose rabattues surun même plan, trouver les valeurs des troi-angles dièdres ?

Prenez SD'= SD". Par les points D’et D”,abaissez respectivement sur les droites SC, SBles perpendiculaires D'D, D 'D qui se coupenten D. Construisez les triangles rectanglesDEC’, DEC", avec les cfttés DE, DE. et avec leshypolhétiuses FG'= l-D’, KG” = ED”. Les an-gles DEC', DEC" seront les mesures ..des an-gles dièdres formés sur les arêtes SC, SB.

Pour avoir le iroisième angle dièdre, formésur l'arêle dont les rabattements sont en SA' eten S\”, on élèvera sur SA* et SA" les perpen-diculaires D'N, D”M, on tirera M N et un achè-vera le triangle MPN, dans lequel MP= MU"et M* = .ND': l'angle MP.N est la me>urc del’angle dièdre demandé.

Comme vérilications le point P doit tombersur la ligne Sl>\, Dh doit être perpendiculaireà S \ et on doit trouver DG’ = DG".

Ce problème eomtirend comme cas particu-lier celui de la réduction d'un angle à l'ho-rizon, qui est fort utile dans la confection descartes et des plans. Ainsi on a observé liig. tt(>(les angles ASC = ê et ASB = Yqn« deux rayonsvisuels iociinés A l'horizon font avec la ver-