*21m

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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

La distance cherchée AP est doncde253 mè-tres environ.

Le calcul exact fait avec les tables de Calletaurait donné 253 m , 032.

2 e Exemple. Trouver la distance PQ de deuxpoints inaccessibles, mais visibles (flg. 131).

On mesure une base AB = 345® 29BAP = 69° 2<>’B\Q= 44° 31’

PAQ = 25° Al'

ABP = 48 u 15’ABQ=102° 14'd'oul'on conclut APB = 62° 19’

et AQB = 3:io 1D'

I L'angle PAQ n'est pas égal à la différenceentre BAP et BAQ, parce que les quatre pointsA, B, Q, B ne sont pas dans un même plan, i

Dans le triangle P AB, on commît la base ABet les deux angles qui la comprennent ; onpourra donc calculer AP.

On calculera de même AQ dans le triangleABQ.

Dans le triangle PAQ, on connaîtra doncdeux côtés AP, AQ et l'angle compris Paq,ce qui est le troisième cas de la résolution destriangles rectilignes obliquongles.

\ K -

P* Calcul de AP

Log. 345.5 = 2,53845I.Og sin. 48" 10’ = 9,87221i.oinpt. log. sin. 62° 20' = 0,05273

Somme . 12,46339

2,46152= log. 291,02° Calcul de AQ.

I.Og. 345,5 = 2,53845l.og. sin. 102* 10' = 9,99013Ci. log. sin. 33° 20’ = 0,26195

Somme . 12,79053

2,79053= log. 617,53® Calcul des angles APQ et AQPOn aura AQ + AP = 908,5AQ — AP = 326,5| I APQ + AQP ) = 77° 9' 30"I.Og. tang. 77° 10’= 0.64243Log. 326,5 = 2,51388C». log. 908,5 = 7,04168Somme.... 10,197993,19799 = log. tang. 57» 40'.Donc (APQ - AQP) = 57° 40’APQ = 134® 49'AQP = t9® 29'

4® Calcul de PQ.

Log. 291 = 2,46339

Log. sin. 25° 40' = 9,63662C.i. log. sin. 19° 30’ = 0,47650

Somme . 12,57651

2,57651 = log. 376 ,

La valeur exacte calculée avec lc9 tables deCallet est de 375,110. L'erreur en plus est doncseulement de 1,39 sur 375,11 ou de envi-ron du résultat véritable. Cette approximationest suffisante dans beaucoup de eus.

Il faut d'ailleurs observer que l'on obtiendraune approximation beaucoup plus grande avec-nos petites tables, lorsque l’on prendra desmoyennes entre les logarithmes qu'elles don-nent , pour des nombres qui tombent entreceux que l’on trouve directement dans ces ta-bles.

§ 16. Géométrie analytique.

Principes fondamentaux. — La géométrieanalytique n’est autre chose que l'applica-tion de l'algèbre à la géométrie. La trigo-nométrie en fait donc partie.

Viète , que nous avons déjà cité comme lepère de l’algèbre moderne, est le premier quiait employé cette science pour trouver lesparties inconnues d'une figure, en exprimantpar des équations les relations qui lient entreelles toutes les parties de cette ligure.

Descaries donne dans sa géométrie le pré-ceptesuivant, que l'on attribue à lortè Newton,pour résoudre, par le moyeu de l’algèbre, lesproblèmes déterminés.

« Voulant résoudre quelque problesme, on» doit d'abord le considérer comme desin fait,

• et donner des noms à toules les lignes qui» semblent nécessaires pour le construire .» aussy bien à celles qui sont inconnuës qu'eux» autres, puis, sans considérer aucune «îiffé-

• rerice entre ces lignes connues et inconnuës.» on doit par courir la difficulté, selon l’ordre» qui monstre le plus naturellement de tous» en quelle sorte elles dépendent mulueiie-» ment les unes des outres, iusques à ce qu'on» ait trouvé moyen d'exprimer une ntesme» quantité en deux laçons : ce qui se nomme» une Equation . »... « Et on doit trouver an-» tant de telles équations qu'on a suppose de» lignes qui étoient inconnues... »

Par exemple s'il s'agit de partager unedroite a en moyenne et extrême raison (Voyezcol. 135), la valeur du plus grand segment xsera donnée par l'équation

a: 2 = a {a — a?}, d'où l'on tire

La première valeur seule convient au pro-blème tel qu'il a été proposé et donne la valeurde la droite AM. Mais la seconde valeur de xqui est négative, prise abstraction faite de sonsigne, est précisément celle que l’on trouvesi l’on cherche sur le prolongement d’une,droite BA (tig. 132) un point M' tel que lu452

A.

f

J .

«y

-- \

n

-L/

JS

distance AM' soit moyenne proportionnelle en-tre la distance BM'et la droite BA elle-même.

Oh doit donc établir en principe que si l'onemploie l'algèbre pour résoudre un problème