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GEOMETRIE.
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de géométrie, et qu'on prenne pour inconnueune distance comptée sur une ligne donnée,à partir d'un point fixe situé sur celte ligne,les valeurs négatives de celte inconnue devrontêtre portées dans un sens opposé à celui oitl'on n suppléé que celte distance était placée.
Mais lorsque l'on cherche une distance in>connue du < ôté opposé à celui où elle doit èireplacée, l'erreur de la supposition u'esi pas tou-jours recuiiee par des valeurs négatives; cetteerreur est indiquée quelquefois par des valeursimaginaires. C'est ce qui arriverait dansl'exemple précèdent si l'on supposait que lepoint cherché fût placé à droite du point B surfa droite AB.
i Lor>que l'on n trouvé, par le moyen de l'al-gèbre, les valeurs des ligues inconnues, il s'a-git de les construire gcometriq enienl.
Pour cela on remarqu. n d'abord que touteexpression d'une ligne doit être véritablementlinéaire, c’est-à-dire qu'elle doit se composerde ternies dans lesquels le degré du numéra-teur surpasse d'une muté le degré du dénomi-nateur Si celle condition n'est pas remplie,c'est qu'une des ligues de la quest on a étéprise pour unité, et, comme l'unité est alorsconnue, il n'en sera pas moins facile de con-struire les expressions des inconnues
CON STR ÜGT l O ft DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES.— On fait donc réellement des additions, dessoustractions, des multiplications, des divi-sions, en un mot toutes les operaiions de l’a-rithmétique par le moyen de Ugures de géo-métrie.
Ainsi la valeur.;*: se construit par le
moyen d'une quatrième proportionnelle auxlignes c, a, b (voyez prob. xvm, col. 135).
Si on suppose c= I, la quatrième proportion-nelle aux ligues t, a, b sera le produit de apar b.
Si on fait b — t, la quatrième proportion-nelle aux lignes c , a, t, sera le quotient de apar c.
Dans tous les cas, les lignes a, b, c, x, etc.,sout censées rapportées à la même unité.
La construction de l'expression
_ *_"• I)^_çP* a'û'b'ïcP'
n'offrira non plus aucune difficulté. On prendrad’abord :
«Ht
. e OLK A S
puis b = — = —fa &
1 a a 4
puis Y =
a
a
En continuant toujours de la même manière,on arrivera à trouver, par des quatrièmes pro-
portionnelles, la valeur de x zz
abc -
mn -f- p 1
On posera abc — d 2 a 1 mn = d% y p 2 =rfy<1* (a -d ) d la-d)d ( ë + y) S + y
x s’obtientdonc en construisant unequalrièmeproportionnelle aux trois lignes é-f-y, OL — det d. Quant aux lignes auxiliaires a, 6 f y»elles seront données par les relationsabc (? mn p 2
a = T 2 ~’ ^ = ^
que l'on sait construite d'après ce qui précède.
Tout Partilice de la méthode consiste doncà transfoi mer le numéraienr et le dénomina-teur en produits de facteurs du premier degré.
I.es expressions les plus simples des radicauxdu second degré sont
V al> < V G
- b i *
!.a première est la moyenne proportionnelleentre a et b (voyez prob. xix, col. t35 ).
I.a seconde est l'hypolhénuse du triangle rec-tangle qui a a et b pour côtés de l'angle droit.
I.u troisième est ondes côtés de l'angle droitdu triangle rectangle qui a pour hypoihénusea, et pour autre côté de 1 angle droit b.
On peut enrore considérer IA , 2 -* 2comme la moyenne propomoinielle entre a 4 - bet a — b.
Pour construire un radical du second degréplus compliqué, on transforme la quantité sousle radical en une fraction dont le numérateuret le dénominateur soient des produits delignes.
Un radical dont l'indice est une puissancepaire de 2 , peut toujours se construire pur larègle et le compas : soit par exemple
Nous poserons b 3 = « 2 a,ô 7 = d’où4
3a + S)
soit y :
«+ a
a [a ~ 3 a + ê) 5 ,
.___ et 0 =
a + a
lAy
ï x = \/ a
■. y/ a l/«y
\/ a 5 .
Pour construire les racines d'une équationdu >-eeond degré, on n'a pas besoin de la ré-soudre. 11 suflit de remarquer que l'équaliou2 .2X — ax = — b
peut se mettre sous la forme
x {a — x\ — b 2 *
Les racines x et a— x sont donc deux lignesdont la somme est a et dont le rectangle estégal à un carré donné /» 2 ( voyez prob. xxv .col. 136).
L’équation a : 2 + ax =: £> 2nedirfère de la première qu’en ce que les ra-cines sont des signes contraires _tix rociues d*celle-ci