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GÉOMÉTRIE.

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dans la direction Ax, et tes ordonnées comp-tées dans la direction A y. Les abscisses de-viennent négatives dans le sens kx' et les or-données deviennent aussi négatives dans lesens ky\

On a donc les résultats suivants pour tousles points placés dans l'un des quatre auglesque font les deux axes des coordonnéesxx\ yy\

Dausl'angle ykx, abscisse +, ordonnée-!-.

ykx\ abscisse — , ordonnée +.y'kx, abscisse+, ordonnéey'kx\ abscisse —, ordonnée —.à l 'origine des coordonnées A, on ax = 0,y = 0 .

On conçoit donc comment on peut con-struire par points le lieu géométrique repré-senté par une équation à deux variables. Onfera croître successivement l'une des varia-bles x , par exemple, depuis 0 jusqu'à l'infinipositif, représenté par -foo, et depuis 0 jus-qu'à l’infini négatif (— e© }, et on détermi-nera les valeurs correspondantes positives etnégatives que l'équation fournira pour*/. Onaura alors daûs chacun des quatre angles descoordonnées les points qui appartiennent aulieu géométrique cherché.

Ce qui est tres-remarquable, c’est que le de-gré de l'équatiou ne change pas lorsque l'onchange de position les axes des coordonnées.Ce degré est donc éminemment propre à ser-vir de base de classification pour les lignes,et on partage celles-ci par ordres ou dégrés

Les formules générales propres à la transfor-mation des coordonnées sont :

x'sin. (0 — a) + y' sin.(Q — a*)

données a , b, de la nouvelle origine, de l’aucieuangle 6 des axes, de l'angle a que le nouvelaxe de9 x' fait avec l'ancien axe des x, del'angle a que le nouvel axe des y' fait avecl'ancien axe des x.

On emploie encore un autre système decoordonnées que l'on appelle polaires , et quine pouvant servir à la classification des lignesa neanmoins, dans certains cas, des avantagesqui lui sont propres. Ainsi les coordonnéespolaires du point M (fig. t35) sont l'angle

P 9i

(O = MP z que le rayon vecteur MP menéde ce point au pôle P fait avec l'axe fixe P z,et la longueur p de ce rayou vecteur.

Pour transformer une équation à deux va-riables rapportée aux coordonnées rectilignesx el y, eu une autre rapportée aux coordon-nées polaires p et (*>, il faut employer les for-mules

p sin. (0— a —to)

x = a + 1 --- L

sin. 0

a + co)

sin. 0

y = b -

x' sin. a + y' sin. a

4ans lesquellesxet y représentent les aucienuescoordonnées d'un poiut quelconque expriméesen fonctions des nouvelles coordonnées x\ ydu même point,en fonction des anciennes coor-

dans lesquelles a et b sont les coordonnéesrectilignes du pôle, 0 l'angle des axes de cescoordonnées, et a l'angle que l'axe polaire faitavec l’axe des x.

Réciproquement pour passer des coordon-nées polaires aux coordonnées ordinaires, onemploiera les formules

p =

[x — a\

4- (x — a) ( y — b) cos. 0 + l?y — b)

2

- {x - a) + {y -

Tang. o) =-

x - a -f (y -

On appelle algébriques les équations à deuxvariables qui peuvent se ramener à la forme

[bx -J- c) y + \dx -f ex -\-f\

m — 2

y 4-elc.= 0.

Les autres équations sont appelées trans-cendantes.

De là la distinction entre les lignes algébri-ques et les lignes transcendantes. Les équa-tions de ces dernières ne pourraient êtrecomposées d'un nombre limité de termes ren-fermant les puissances des variables x et y.Mais elles prennent quelquefois une formetrès-simple en coordonnées polaires.

Une ligne algébrique du degré m ne peuté;re rencontrée par une ligue droite en plus<Je m points»

j.i-b équations dit premier degré à une ou

b\ ( sin. 0 — cos. 0 lang. a)

b\ ( cos. 0 -j- sin. 0 tang. a)

deux variables ne représentent que des lignesdroites.

Les équations du second degré ne représen-tent qu'une des trois sections coniques, ou unsystème de lignes droites.

Newton a fait l'énumération des lignes dutroisième degré, et il en a trouvé 72 com-prises sous 14 divisions. Stirling a ajouté4 espèces que Newton avaitiomises. Cramer ena trouvé eucore 2 autres, ce qui fait en tout 78espèces.

Euler a entrepris la classification généraledes lignes du quatrième degré, et il a trouvé146 genres renfermant eux-mêmes pour laplupart plusieurs espèces qui ont entre ellesdes différences notables.

La combinaison des équations qui repré-sentent les lignes droites et courbes conduità la démonstration de toutes les propriétés