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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

do ces lignes, et à la détermination de tous leséléments des ligures de géométrie. Et réci-proquement, la connaissance des propriétésdes lignes ou d'un nombre d’éléments sufll-sant sert à trouver les équations de ces lignes.

l*or exemple pour la ligne droite, dont l'é-quation est

y =: ax + b

l'angle des axes des coordonnées étant ô,

l'angle a que cette droite fait avec l'axe desx sera déterminé par la relationa sin. ô

Taug. a =--

t + a cos. 0

et réciproquement, l'équation de la lignedroite qui fait un angle a avec l'axe des x,et qui a b pour coordonnée à l'origine, est

sin, a

sin. (Q-a)

x-\-b.

• On trouvera de même l’équation d’unedroite qui passe par deux points donnés, oupar un point donne et qui est parallèle ou per-pendiculaire à une droite donnée, ou qui faitun angle quelconque avec celle-ri ; on déler-mineru les coordonnées du point d'intersec-tion de deux droites, la distance de deuxpoints, etc.

L'cqualion générale du second degré à deuxvariables est

2 2

S y t Bj cy + Cx •+ D y + Ex + F = 0,elle représente une ellipse, une hyperbole ou

une parabole, suivant que B — 4AC est néga-tif, positif ou nul.

Dans les deux premiers cas, il est toujourspossible, eu (rapportant les axes parallèle-ment à eux-mômes, de trouver un point telqu'en le prenaut pour origine des coordon-nées, les termes du premier degré disparais-sent de l'équation transformée. Ce point est lecentre de la courbe.

Il est toujours possible, pour une quelcon-que des trois courbes, de trouver deux axesrectangulaires tels qu'en les prenant putir axesdes coordonnées, le terme qui renferme le rec-tangle des variables disparaisse. Même, dansle cas de la parabole, le terme qui renfermele carré d'une des variables disparaîtra eumême temps que le rectangle.

L'équation générale peut donc se ramenera l'une des trois formes suivantes:

2 2 2

y -\-m x =p (ellipse).

2 2 2

y -m x =p (hyperbole).

2

y ■zz'lpx (parabole).

Les deux premières équatious peuvent semettre sous une forme très-symétrique, sa-voir:

2 2 2 2 2 ,2

a y -f- b x = a b.

2 2 2 2 2 ,2a y — b x = — a b2 a et 2 b sont le grand et le petit axe del'ellipse : 2a est l'axe transverse et 2 b le se-cond axe de l'hyperbole. C.esdeux courbes ontalors pour coordonnées leurs axes principaux.Leurs foyers sont situés sur l'axe des x à des\/~2 2 ~

distances du centre égales à V a — b pour

\/ 2 2

l’ellipse et à V a -f- b pour l'hyperbole.

Le paramètre ou la double ordonnée qui pisse

2 b 1

par le foyer a pour valeur —■ dans l'ellipse

et l'byperbole et 2 p dans la parabole.

Les trois courbes sont représentées par l'é-quation polaire très-simpleP

\ — e cos. co

dans laquelle p représente le demi-paramè-tre de la courbe, e étant moindre que t,plus grand que 1 ou égal è 1, suivant que lacourbe est une ellipse, une hyperbole ou uneparabole. L’origine des coordonnées polairesest ici l’un des foyers, et l'axe des foyers dela courbe est pris pour axe polaire.

Le cercle est un cas particulier rie l'ellipse .son équatiou, lorsqu'il est rapporté à deux axesrectangulaires quelconques passant par soncentre est

2 2 2x +y = r

r désigne le rayon.

Ces diverses équations des lignes du secondordre renferment implicitement toutes lespropriétés que nous avons énoncées sur cesligues et une foule d'autres très-curieuses,auxquelles la synthèse des anciens ne conduitsouvent que par une voie plus pénible.

Des points, des lignes et des surfaces dansl'espace. — On détermine la position d'unpoint dans l'espace par ses trois coordonnéesx, V> z> ou par ses distances à trois plans fixesqui se coupent suivant les trois axes des co-ordonnées ; distances mesurées, pour chacundes plans, parallèlement à l’intersection desdeux autres plans.

Toute équation è trois variables représenteuue surface dans l’espace.

Pour déterminer une ligne, il faut deuisurfaces qui se coupent, ou (leux équatious èdeux ou à trois variables.

Une équatiou à deux variables représenteune surface cylindrique dont la genérutriceest parallèle à l'axe de celle des coordonnéesqui manque.

Toute équation du premier degré à deux ouà trois variables représente un plan. Lorsqu'elleest complète, elle se met sous la forme très-simple

t

a, b , c sont les coordonnées à l'origine, oules longueurs des axes comprises entre l'ori-gine et le plan, respectivement 6ur l’aie desx, des y et des z.

Ou peut éliminer entre deux équations ètrois variables une variable quelconque. Parconséquent, on peut substituer aux deux équa-tions a trois variables qui représentent uneligne, deux autres équations à deux variablesseulement.

Ainsi aux deux équations complètes qui re-présentent des plans dont l’intersection déter-mine une ligue droite, on substituera leséquatious

X = az -f b y =pz + qdont l'ensemble représente une ligne droitequelconque.

La transformation des coordonnées dans l'es-pace s'opère au moyen de formules du pre-mier degré de la forme

X = (K + ax' -f b y* -f cz'

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