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GÉOMÉTRIE.

i-2U

y = jü 4* a'*' + b'y' 4 c'z'

?: = V 4 <?”x* 4 b"y' 4 c"z'

Le degré des équations ne change donc paslorsque l'on opère des transformalious quel-conques des aies des coordonnées dans l'es-pace.

Il est donc naturel de partager les surfacesalgébriques en différculs ordres suivaulledegré de leurs équations.

Une surface du degré ni ne peut pas êlrecoupée par un plan suivant une ligne d'undegré supérieur a m, ni être rencontrée parune ligne droite en plus de ni points.

Surfaces du secomi) degré. — L'équationgénérale du second degré à trois variablespeut toujours par un choix convenable d'axesdes coordonnées, se ramener à l'une desformes

2 2 2?x 4 l"y 4 P 'c = il .... («)

2 2

P’y +r; =.2Qx . \b)

La première représeule les surfaces qui ontun centre, la seconde celles qui n'en ont pas.

L'équation (a) peut toujours être censéerenfermer deux termes positifs P et P' dansle premier membre, pjr suite de change-ments convenables de signes; et elle ne pré-sente alors que trois cas distincts, suivant quel’on a 4 P" «1 4 H. — P” et 4 H, — P” et- 11 .

Dans le premier cas, l'équatiou peut se ra-mener à la forme

elle représente un ellipsoïde , surface limitéedans tous les sens, et dont la section par unplan est toujours une ellipse.

2 2 2

Daus le cas particulier où a = b =c l'é-quation

2 2 2 2* + y + •= = u

représente une sphère dout le rayon est a.Pour — P” et 4 H» on a une équation de laforme

qui représente Vhyperboloïde à une nappe.Les sections parallèles au plan des xy sont desellipses qui augmentent avec leur distance àce plan.

Les coupes pai allèles aux plans des xz et desyz sont des hyperboles, mais qui ne tournentpas toujours leurs branches du même côté.

Pour — P" et — H, l'équation se ramène àla forme

qui représente Y hyperboloïde à deux nappes.

Le plan des xy ne coupe pas la surface; lesdeux autres plans coordonnés la coupent sui-vant des hyperboles.

A partir d'une distance convenable, les sec-tions parallèles au plan des xy, au-dessus etau-dessous, déterminent des ellipses dont lesdiamètres vont en augmentant depuis 0 jusqu'àl'inüni.

Toutes les sections parallèles au plan des xzpu à celui des yz c/oimentdes hyperboles sem-plables et semblablement placées.

Les surfaces qui n ool pas de centre, comprisesdans l'équation (l>), se réduisent à deux, sui-vant que l'on a tons les termes positifs ou seu-lement P" négatif.

Dans le premier cas, l’équation peut se mettresous la forme

Elle représente le paraboloide elliptique.

Toutes les sections parallèles aux pians desxy et des xz sont des paraboles respective-ment égales aux sections faites par ces deuxplans eux-mêmes; et toutes les sections faitesparallèlement au plan des y? sont des ellipsesqui vont en augmentant depuis un point jus-qu'à l’inlini.

La dernière équation, qui devient

représente le paraboloide hyperbolique, laplus singulière des surfaces du second degré.Le plan des yz la coupe suivant deux droitesqui se croisent à l'origine des coordonnées; lepian des xy, suivant une parabole tournée ducôté des x positifs; le p'aii des xz, suivantune parabole tournée du côté des x négatifs,'foutes les sections parallèles au plan des yzsont des hyperboles dont les centres sont surl'axe des x, et qui tournent différemmentleurs branches à gauche et a droite de ce plan.Leurs asympiotes sont parallèles aux deuxdroites suivant lesquelles la surface est coupéepar le plan des yz.

Les sections parallèles au plan des xy sontdes paraboles égales à celle que détermine ceilau , de sorte que la surface du paraboloideîyperbolique peut être engendrée par une pa-rabole qui se meut parallèlement à elle-même,son sommet restant toujours sur une autreparabole donnée.

St l'on suppose dans l'équation (a) que nsoit nul, on aura deux cas a examiner, sa-voir :

vx* + i"y' 1 + r"s î =0

r x 2 4- r'i / 2 - r ': 2 =o

La première équation représente un poiutunique à l'origine; la secoude un côue dout le6ommet est à l'origine.

Si l'ou fait P" = o dans («), l'équation peutprendre une des deux formes :

Px ! +P'y î = u . ti 1 - P'j/ 2 = II

La première donne un cylindre à base ellip-tique ou une droite, ou ue représente rien,suivant que 11 est positif, nul ou négatif.

La seconde donne un cylindre à base hyper-bolique tant que U n'est pas uul, et deux plansqui se coupent si H = 0.

Pour P' = 0 et P" = 0, l'équation (a) repré-sente deux plans parallèles, ou un plan uni-que, ou deux pians imaginaires, suivant queH est positif, nul ou négatif.

En laissant de côte les cas qui rentrentdans la précédente, l'équation (Z>| ne donnequ'une nouvelle surface qui est un cylindrea base parabolique, et qui a pour équation

P' y 2 = 2 Q x.

Les surfaces du second degré peuvent doncse réduire à cinq genres distincts qui com-prennent comme cas particuliers les cônes etles cylindres. Comme d'ailleurs toute équationdu degré m comprend implicitement les lieuxgéométriques des degrés inférieurs, Téqua-lio*> du second degré peut donner aussi deux