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GÉOMÉTRIE. 224

cle peuvent se mouvoir une ou deux alidades,règles munies de fentes ou de fenêtres où secroisent des fils qui déterminent des lignes devisée ; les alidades sont remplacées avec avan-tage par des lunettes.

Le cercle entier (tig. 138) est un instrumentbien préférable au grapliornètre. S’il est dis-posé de telle sorle que l'on puisse à volonté en-traîner avec le cercle une des lunettes qu’ilporte, ou cette lunette seule, il sera facile derépéter les angles, c’est-à-dire d'obtenir pardes observations successives le double, le tri-ple,... le décuple de l’angle. Les erreurs delecture, d’observation et de graduation secompensent; et comme l’angle décuple estobtenu avec autant d'approximation que l'au-rait été l’angle simple, ce dernier n’est plusaffecté que d’une erreur dix fois moindre quecelle qui résulterait probablement d'une ob-servation unique. Le cercle répétiteur c st dfià notre compatriote Borda : mais le principede la répétition des angles avait déjà étéémis par l’astronome allemand Tobie Mayer.

Lorsque l'on a levé un plan sur le terrainavec le grapliornètre ou le cercle, on le rap-porte ou moyen de triangles semblables à ceuxqui ont été tracés ou mesurés sur le terrain.La planchette permet de dessiner immédia-tement sur le terrain le plan qu'on veut lever(lig. 439). tl suffit pour cela de tracer sur le139

»ier appliqué à la planchette, que l'on tientn horizontale, les lignes avec une alidade,

dans les directions oit on les voit, et de pren-dre leurs longueurs à une échelle déterminéede la grandeur naturelle. Les sommets de cer-tains triangles, dans lesquels se décomposentles figures, seront déterminés, sur le papier,par des intersections de droiteset non plus pardes mesuresdirccles.

Enfin le levé à la boussole est fondé sur lapropriété dont jouit l'aiguille aimantée, sus-pendue librement, d’avoir une direction con-stante dans un même lieu. La Ûgure 140montreque, si l'on mesure les angles que font les li-nes tracées sur un plan avec l'aiguille delàoussole, le parallélisme que conservent les di-verses positions de l'aiguille détermine lesangles des polygones levés, et qu'il suftlt aloj sde mesurer les côtés deces polygones.

L’aiipentage a pour but principal la mesurede surfaces planes, exécutée d'après un levé deplan. Cetie mesure doit être effectuée d’aprèsla méthode de cultellalion, c’est-à-dire qu'ondoit prendre uniquement les projections ho-rizontales des surfaces inclinées et non pasleurs développements. Cela est fondé sur ceque la pousse des végétaux s'opérant de basen haut, verticalement, un terrain en pentecomme fhypothénuse d’un triangle rectangledont la base serait horizontale, ne produit pasplus, en général, que ne produirait la baseelle-même.

La mesure des surfaces planes, terminéespar des lignes droites ou par des courbesdont on peut obtenir l’aire, ne saurait offrir dediftlcullé. Mais, lorsque l'on veut mesurerexactement une surface terminée par une li-gne courbe irrégulière , le mieux est d’avoirrecours à la méthode générale de quadraturedue au géomètre anglais Thomas Simpson .

Cette méthode consiste à partager l'aire àévaluer en segments compris entre un arcde la courbe donnée et trois droites, savoirune />(7^eetdeux ordonnées extrêmes. On di-vise la base en un assez grand nombre departies égales pour qu’en élevant des ordon-nées aux points de division, les arcs curvili-gnes compris entre les extrémités des ordon-nées ne s’éloignent pas trop des cordes tiréespar ces mêmes extrémités. I/aire de chaquesegment curviligne est égale au tiers du pro-duit que l'on obtient en multipliant par l’in-tervalle constant compris eutre les ordon-nées de la courbe la somme des ordonnéesextrêmes augmentée du double de la sommedes autres ordonnées de rang impair, et duquadruple de la somme des ordonnées derang pair (non compris la dernière si elle estde rang pair}.

Lorsqu’un polygone a été levé à l'équerre,on le connaît seulement par les coordonnéesde ses sommets. 11 existe une formule très-simple qui donne l’aire A du polygone enfonction deces coordonnées, désignées par

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pour les sommets comptés dans un sens dé-terminé à partir de l’un quelconque d’entreeux. Cette formule est2 A =*V/ 2 - .</,* 2 +.r 2 y ,-ÿj*