IV

CALCUL INFINITÉSIMAL

§ I. Principes généraux du calculdifférentiel.

OlUC.INK »>U CALCUL IHFFÉIIKNTJKL. — C’üSl II

un problème de géométrie que le cnlcul inlinitésimul doit son origine.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de me-ner une langente MT au point M de la rirconférence MDB (Ûg. <). Il sufllra évidemmentde connaître la sous-tangente PT, c'est-à-dire la longueur de l'axe des abscisses com-prise entre le pied de l'ordonnée MP et lepoint T, où la tangente coupe cet axe.

O 6 <jP

Pour la trouver, considérons le cerclecomme un polygone d'un nombre infini decôtés; soit M N un de ces côtés infiniment pe-tits; ce côté, prolongé jusqu'à l'axe, sera évi-demment la tangente cherchée, puisqu'il nepénétrera pas dans l’intérieur du polygone.

Pour tous les points de la circonférence, ona la relation

—2 ■— 2 —2

MP -f CP = CM

En désignant le rayon CM par r, l'ordon-née MP par;/, l'abscisse DP par x, il vient

.V 2 + I r-xi 2 = I - 1

ou

V 2 = Irx - x 2

relie est l'equation de la circonférence rap-portée aux axes D#, D y, équaliou applicableau point M.

On aura aussi pour le point N(.</ + NO | 2 =2r (* +MO | - (l + lli) ] 2retranchant la première équation de la se-conde , il vient, pour le rapport de MO à

MO _ 2;/ -f NO

NO 2/* — 2x — .MO

d’un autre côté la similitude des trianglesNOM, MPT, donne la proportion :

.. . NO : MO : : MP : PT,

d ou

„„ MO { 2y+ NO) u

PT = — MP= —- - —

NO 2r— 2x — MO

La valeur de la sous-tangente PT serait douedéterminée si NO et MO étaient connues.Mais ces quantités sont infiniment petites ,comme le côté MN ; on ne commettra doncqu'une erreur iniiniment petite en négligeantNO, accroissement iniiniment petit de l'or-

donnée y fi côté de la quantité Unie 2y,el MO»accroissement infiniment petit de l'abscisse X'à côté de la quantité Unie 2r—2x , et on auraexactement

PT =

V

2

r — x

Ce qu'il y a de remarquable , c'est que l'er-reur commise en négligeant les quantités inli-nimeut petites est absolument nulle; de sorteque ces ùuontités qui entrent d'abord dans lecalcul, disparaissant du résultat final auquelon parvient, n'entachent ce résultat d'aucuneinexactitude.

Pour l'exemple ci-dessus, il est facile des'assurer à posteriori que l’on parviendrait îila même expression de la 60 us-tangentc PT,en partant du principe connu que le triangleCMT est rectangle en M , et se décompose endeux triangles CMP , MTP semblables entreeux et au premier.

Définitions kt notations fondamf.ntalrs.Le calcul différentiel a pour but l'applicationdu calcul algébrique à des considérations ana-logues à celles qui se sont présentées dansl'exemple précédent, c’est-ô-dire que ce calculs'exerce sur des quantités inQnimenl petitescombinées avec des quantités Unies, pour ar-river à la détermination de quantités Uniesinconnues.

L'accroissement infiniment petit de la va-riable x est ce que l’on appelle sa différen-tielle , et est désigné par le symbole dx ; demême du est l'accroissement infiniment petitou la différentielle de y. Dans l'exemple pré-cédent, on a MO = dx\ NO = dy. Le triangleM.NO est appelé triangle différentiel.

On voit qu'en général la sous-tangente Piest égale au produit de Fordonuée MP ou y ,dx

par le rapport — purgé des quantités infi-niment petites qu'il renfermait d’abord; et cerapport lui-même se déduit de l'équatiou de lacourbe.

Soit généralement cette équationy =/ (x)

donnons à a: l'accroissement inQniment petitdx , y augmentera de dy , et on aura

#+ dy=f{x + dx)

retranchant la première équation de la se-conde, il vient

dy=f{ x + dx) —f[x |

Il suffit donc de développer le second mem-bre pour connaître rfy ou moyen de dx , etpar suite dx au moyen de dy.

si l'on divise les deux membres par dx ,on a

dy_ __ f[x-\-dx ) -f\x )

dx dx

dy

ïfa~ est ce <J ue l'on appelle le coefficient dif-férentiel de la fonction ;/. C’est la valeur durapport entre la différentielle de cette fonc-tion et la différentielle de la variable indé-pendante x. Ou bien, comme le second mem-bre de la relation préccdenie a une valeurvers laquelle convergerait de plus en plus lerapport