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CALCUL INFINITESIMAL.
f\x+ h)-f{x)
MZ
itz
2 y 4 - nz
renliel On a vu dans I’algèbre ( col. 97 J
que la dérivée f f (x) d’uoefonction de x,f[x)est le coefücient de la première puissance deh dans le développement f\x -f- h ). Cette dé-rivée est elle-même la limite du rapportf\x + h) — f[x)
h
Valeur de lafonction y.
I a + x . . .
il *
*3 *
Valeur de la diffé-rentielle dp.
dx— dxa dx_ gdx
-y.2
mx
' dx
Log. nep. a dx
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w ,on fait
à mesure que l’on donnerait à h des valeursde plus en plus petites, on dit encore que le coef-Ucient différentiel est la limite du rapportentre l'accroissement de la fonction et 1 ac-croissement delà variable indépendante.
Pour bien comprendre l'existence de cettelimite, il suflit de se reporter à l’exemple parlequel nous avons commencé. En effet, si aulieu de la tangente 1UT, on considère d’abordune sécante RM T', la similitude des deuxtriangles RMZ, MT'P, conduira à la relation
TP + T'T = MP
d’un autre côté, d’après l’équation du cercle,on trouvera
2r - 2x - MZOr, si l’on fait tourner la sécante II MT' au-tour du point M, de manière à rapprocher deplus en plus le point II de ce point, la sécantese rapprochera d’autant plus de la tangenteMT ; HZ et MZ diminueront en même temps ,et lorsque la sécante sera devenue tangente,on pourra considérer HZ et MZ comme abso-lument nulles, de sorte que est la limite^ r—x
du rapport —, ou la valeurdu coefficient diffé
Le coefficient différentiel
est donc la même chose que la dérivée, et l’onpassera sans difficulté de la différentielle d’unequantité à la dérivée, en supprimant le fac-teur dx, et de la dérivée à la différentielle enmultipliant par dx.
Différentiation des fonctions simplesQuelle que soit la manière dont on envisage
le symbole j-g* on sent qu’il est important de
trouver d’abord les règles pour la différen-tiation de toutes les fonctions possibles.
Ces règles sont résumées ci-dessous
Si dans l’expression y — xd’où y= \/x, on en tiredx
dy= ~—
2 V x
Les différentielles delafonction exponentiellea ®,etdela fonction logarithmique Log. x, ren-ferment deux symboles Log . nep. a et M qu’ilfaut expliquer.
Lorsque l’on cherche la limite vers laquelleconverge la série
, + ±,I , J_ + +
4 1.2 1.2 3 4.2.3.4
c'est-à-dire la limite dont on s'approche deplus en plus à mesure que l’on prend plus determes de cette série, on trouve un nombrecompris entre 2 et 3 , et dont la valeur expri-mée avec 40 décimales est
d = 2, 7182818285
C’est ce nombre e , dont l’usage est fréquentdans l’analyse mathématique, que Néper apris pour base de sou système de logarithmes.Log. nep. a indique donc le logarithme né-périen de a , on l'écrit ordinairement sous laforme abrégée la.
M représente le logarithme de e pris dansle système dont la base est a.
On a toujours la relation (Col. 4518.)
T.og. e — ~~ d'où la = .——la log.d
Dans notre système ordinaire de logarith-mes où a— 40, on a
M = log. e = 0,4342944819
Et réciproquement
Différentiation des fonctions composées. —Soit z uoe fonction de fonction dex, déter-minée par les équations
z — e [y], y —f M,
la différentielle de z prise par rapport à lavariable x , sera donnée par la formulej, dz dy .dl = 7lÿ dx dxDe même, si l'on avait
u — F (z), z —f \y\, y =CÛ (xl, il viendrait
du = itd?. $/. dx.dz dy dx
La question est ramenée à chercher autantde coefficients différentiels simples qu’il y ade fonctions. Exemples :
4° Pour K = xi,i/i;f f'Jr ôte.on a du — dx + dy + dz + dt i etc.
2° Pour u = xyzt.. , il vientdu — yzt..dx-\-xzt...dy -f- xyt.,.dz +etcz . ydz — zdy
3° Pour u = - ,onar/u =-
y 2
Log. x . .
■ »?
4° Pour u = y , il vient
Sin. x . .
. Cos. x dx
du =.y Z 1 zdy + y\ydz)
Cos. x . .
. —Sin . x dx
1 y désigne le logarithme népérien de y.
En général, pour différentier une fonction
Arc. sin. x.
dx
V/“ 2
dx
composée quelconque, il suffit de la différen-tier successivement par rapport à chacune desfonctions dont elle est formée, comme si les
\/1 - X-
autresétaientconstantes, et de faire la sommedes quantités ainsi obtenues.
-. -s