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,v>

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS.

au

Exemple :

gin. x

r\ y = long. x =-

7 h rog. a:

' 2 \dy = l + long, X y r/xi= cos. X

2". i/ col. x = --

bin. x

' 2 \dy = — \t + cot. xj f/x

., . sin. y

3°. v = arc tang. x, d ou x = -•

J cos y

<*V = -i?-

l+ x 2

y= arc cot. x, d'où x =

cog. yBin. y

\ + x

généralement, si l'on a

u = F |y, z, t, p...)

y. z , a, y... étant des fonctions de x, on

auradu =

du . . du . . r/«

, 7 ÿ ''V+ lE dz+ ïïf

dt + etc.

r?y f/-. •• sont ce que l'on appelle

tes différentielles partielles te la fonctionh, c'est-à-direqu'elles sont prises séparémentpar rapport à chacune des fonctions y, z, t, v,les autres fonctions étant considérées commeconstantes.

l.a formule subsiste lors même que plu-sieurs ou la totalité des variables y, z, t, v,..sont indépendantes. Seulement les symbolesdy, dz, at, etc... représentent des quantitésconstantes dans le cas où ils s'appliquent à desvuriables de cette espèce,lorsque l’on a une relation telle queu — F ( x, y I =o

où y asifonction implicite de x, c'est-à-direoù l'on n'obtiendrait la valeur dey ctixqu'a-près avoir résolu l'équation, il n'est pas néces-saire, néanmoins, de résoudre celte équationpour avoir la différentielle de y au moyen decelle de x ; on a pour cela la formuledu

a V - " 77 fi dx'!ÿ

En général, si « variables x, y. z y ... sontliées entre elles par les m équations u = <>,v — o, w — o t ... ou aura en même temps lesm équations différentielles du — o , dv = odw—o,... à l'aide desquels on pourra déter-miner les différentielles de m variables consi-dérées comme fondions implicites de toutesles autres.

Différentielles successives. La différentie'leet la dérivée d'une fonction dex sont de nou-velles fonctions dont on peut chercher la dif-férentielle et la dérivée. On est conduit ainsi àconsidérer les différentielles et les dérivées dusecond, du troisième... ordre.

La différentielle de dy s'indique par d. dy

à

ou pour abréger par d y Les différentiellessuccessives sont donc

. .2 .3 ,n

dy , d y, d y. .. d y

Les successives dérivées de y étant

v'. v". ?/". J / 1 " 1

on aura . ,

2 2 n lui n

dy z= y'dx, d y=zy"dx ...d y—ydxon a encore l'expression générale,n

,n d y ntl y = —- rtedx

d y

dans laquelle-représente le coefllcient dif-

dx n

férentiel ou la dérivée du n« ordre.

Four des fonctions d'une seule variable, cesdifférentiations successives n'offrent aucunedifficulté.

Pour une fonction z de deux variables in-

dépendantes xet y, on a la formule rf 2 z =

2 2 2d z 2 d z d z , 2

—_ dx + 2 - dx dy 4-rfy

dx dx dy dy“

Le premier lerme provient de la différen-tiation de 4^ par rapport à x; le dernier dedx

4^- différentié par rapport à y ; le terme m-dy

termédiaire est la somme des résultats égauxque Ton obtient en différentiant ^ par rap-port à y, et ^5. par rapport à x

En général, si z est fonction des variablesindépendantes x, y, t, u. on a la formule

rf "*= Us rf *<*+•■■)"

dans le second membre de laquelle il faudra

remplacer dz n par d après avoiieffeoluele développement de la rt Cn,e puissance dupolynôme.

Dans le cas où la fonction z renferme desvariables dépendantes, il faut regarder commevariables leurs différentielles; alors la for-mule précédenie ne subsiste plus.

En avant égard à la distinction qui doitêtre éta’blie entre les différentielles des va-riables indépendantes et celles des variablesdépendantes, il est facile d’oblenir aussi lesdifférentielles des divers ordres des fonctionsimplicites.

S 2. Applications du calcul différentiel <il'analyse algébrique.

Valeurs des expressions qui se présententsons une forme INDÉTERMINÉE. Soit une fractionf (xj

t-— dont les deux termes deviennent nuis àF (x)

la fois lorsque l'on y remplace x par a. Cetteindétermination du symbole ^ indique l'exis-tence d'un facteur commun aux deux termesde cette fraction. Pour obtenir la véritablevaleur de cette fraction, il Taut prendre lesdérivées successives du numérateur et du dé-nominateur, et y subst ituer a à la place de x.jusqu'à ce que l’on arrive à deux dérivées demême ordre qui ne deviennent pas nulles à lafois par cette substitution. Alors on trouverapour la fraction proposée une valeur nulle,Unie ou intime.

On remédie de la même manière à l'indé-termination du symbole » lorsque les deux