CALCUL INFINITÉSIMAL.

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termes de la traction proposée deviennent in-finis à la fois.

On ramène ft la règle précédente les cas oùl'indétermination se présente sous l'une desTonnes

0°, oe°, | .

Mann et minou des fonctions. Soit d'a-bord ( 7/=/Lri, une fonction d’une seule va-riable. Les valeurs de x auxquelles correspondun maximum ou un minimum sont donnéespar la relation

soil X — a, l'une de ces valeurs. A x — a cor-respond un maximum lorsque le premiercoefücient différentiel, qui ne devient pasnul par cette substitution , est de rang pair etnégatif ; et un minimum lorsque ce coefficientdifférentiel est positif. Il n'y a ni maximumni minimum lorsque le premier coefücientdifférentiel, qui ne disparaît pas, est de rangimpair.

('.es propriétés ont déjà été indiquées sousune autre forme. (Voyez Algèbre , col. 98.)

Les abeilles, dans leur architecture, nousoffrent un exemple bien remarquable de la so-lution d’un problème de minimum. Les al-véoles ou cellules de ces insectes ont, commeon sait, la forme générale d'un prisme hexaè-dre régulier, de sorte que, d'abord, il ne resteaucun vide entre les parois de ces alvéoles,comme on peut s’en assurer en se reportant àla (ig. 57, col. 140. De plus, les rayons ou gfl-leaux sont composés de deux rangs d'alvéolesadossés de telle sorte, que l’axe de ceux quiont leurs oridees d'un côté est dans le prolon-gement de l’aréie commune à trois alvéolesconligus de l'autre côté. Mais ces deux rangsde cellules ne sont pas séparés par une cloison

f dane; chacun de ces prismes hexaèdres régu-iers est terminé par un poiuteuient à trois fa-ces , en forme de losanges égales et égalementinclinées, ayant leur-sommet commun surl'axe du prisme, et pour plus longuediagonale,le côte du triangle équilatéral inscrit dansl'hexagone qui sert de base au prisme. L'an-gle, au sommet de ces losanges, est de 109°28', et l’autre angle, de 70° 32' environ.

Or, le volume de l'alvéole ne change pas parsuite de la substitution de ce pointement triè-dre à la base hexagonale; mais la surface va-rie, et il y a une forme de losanges pour la-quelle elle est un minimum, et pour laquelle,par conséquent, la cire employée à la coofec-tion des parois sera économisée le plus possi-ble. Ce qu'il y a d'admirable, c'est que lesabeilles ont précisément atteint ce minimum.Car en cherchant par le calcul les angles de lalosange qui doivent satisfaire à cette condition,on trouve que la tangente de la^ moitié d'un deces angles a pour valeur y/2. Cet angle estdonc de 109° 28'16", et le supplément de 70°30 44". Nous renvoyons, pour plus amples dé-tails , aux Annales des sciences naturelles,

t. XIII.

Dans le C8S d’une fonction de deux va-riables ,

z=ffx, y)

il faut que l'on ait à la fois

dz

dx

i! faut de plus que les dérivées et ^ z

rte 2 r/y 2

soient de même signe et satisfassent à la r«-latiou d'inégalité

<P_z d’j. _ ( ^0

rfx 2 rfy 2 ' dxdy '

r£_

dx dy

Ces conditions étant remplies, il y a :

,2_

,. d z

t° maximum pour —« < ürte 1d 2 s

2° minimum pour — „ > 0.

dx 1

En généra! pour une fonction u, d'un nom-bre quelconque de variables x, y, z, t..., ilfaut que l'on ait séparémentdu = n du _dx U 7 dy ~~

5 dz

etc..

I.es valeurs que ces équations fournissentpour x, y, z.... répondent à un maximum ouà un minimum , suivant qu'elles donnentpour les coefticients différentiels

d 2 « d 2 u d 2 u

dx

2’

<iy

2’

dz L

des quantités toutes (rois négatives ou toutestrois positives. Elles doivent encore satisfaireà d'autres conditions trop compliquées pourtrouver place ici.

Séries de Taylor et i>e Maclabrin. La pre-mière de ces fameuses formules donne le dé-veloppement suivant les puissances croissantesde h du résultat f\x-\-h), que l'on obtient ensubstituant x -j- h à la place x dans la fonc-tion y=.f (x). Cette formule est

du h r/ 2 y h 2

/te+A)=y+ ?.. - + —4 —

dx l rte A \ ■ 2

d y h

d x‘

+ ••• +1.2.3. dx‘

d n y h n

--f etc.

f .23... n

Elle a déjà été donnée sous une autreforme (voir algèbre, col. 97 )

On peut en déduire une autre série remar-quable qui porte le nom de Maelaurin , maisqui par8it due à Stirling, savoir :

x 2

X

s\x\ =/(o) + —r o) +

+-

loi +..

I. 2. 3.... n

/loi,/’ |0|,/’ (01, . ./I») (0|

étant les valeurs que prennent les fonctions y

et les coefticients différentiels successifsdj/ d n y

dx ' dx" 1 . dx’ 1 '

lorsque l’on y fait x = 0.

La formule de Stirling est très-utile pourdévelopper les fonctions d’une seule variablesuivant les puissances croissantes de cette va-riable.

Elle donnera successivement :

«* = < + • Itf-b-

I a -f etc.3

' +7 + r2 + T2“3 + -

Sinar = x — •

3 + i.2.3. 4.3

r

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