DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ET RETOUR DES SUITES.

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U 2. 3. 4. 5. G. 1

-f etc.4

Cos# == 1-[-

4.2 1.2.3

6

- -H etc.

4.2.3 . A . 5. GDe la formule de Taylor, ou tirera :

Log. ( 4 ± X)

( 23 h \

±*~r ± i r--f±-)

série qui n'est convergente que lorsque xest < 4-Mais In série

i <>s 11 + .y| =i-og. y

+2 J1 ( — +- —J +-^—7 +etc. )

\.t+2t/ 3H+2ÿ| 4 5(t+2ÿ|“ )

est très-convergente, quel que soit y.

M est le module ou la valeur dei’unité di-visée par le logarithme népérien de la basedu système. Pour les logarithmes ordinaires,on sait que M = 0,4342945.

Formoi.es de Lagrange et de I.aplace. La-grange a été conduit par induction à une for-mule remarquable su moyen de laquelle on ob-tient le développemeutd’unefunctionquelcoii-que de y , \y) lorsque y est déterminé par

la relation :

y = a + <p (y)Cette formule est :

<]> <y) = ({/ *«) + tjt* («) cp (<r)

, d. t|l’ («I Cf (Cil 2

+ T~2 dâ

+-

d 5 cjl’ («| Cf «r| 3

t.2. 3

du

+ ■•••

Elle est d'une grande utilité pour la solu-tion du fameux problème du retour des sui-tes, qui a pour but, étant donné un dévelop-pement de z en fonction de y, savoir

z = a.v + .

!/ 2 + Yï*+ c‘ c -

de trouver la forme du développement de ven z, ou plus généralement de y n en z.

Si l'on pose

a

et

es (j/i = — (p+Y y+S y 2 +•■)on trouve , d'après la formule de l.ngrnnge

,/‘=u n - +• (B + v« + a * 2 +...)

i .a 1

« d a' J + 3 ( 8 + V a +Oii 2 +■■ ) 2

+-, ■--- ! --

4 .2 .a 1 d a

n d 2 a' 1 + 5 ((5 + y.' +5a 2 +...) S

1.2. 3. a 3 du 2

+ etc.

Dans le cas particulier où n = 4, on obtient, membre, la nouvelle formuleen faisant les calculs indiqués dans le second

( _ _ _ 2 + / -ë 2 -gy \ 3 / s e 3 - s qgy + a 2 S '

a a 3 " \ a 5 / \ a 7

në 4 -21 aê 2 y+« a 2 ëS+ 3 a 2 y 2 - a 3 £ 5

4

+ etc....

Philippe Kubbiani a calculé les coefficientsde ce développement jusqu'au neuvièmeterme.

Si le développement de z en y est limité etne renferme que m termes, les formules pré-cédentes donneront les valeurs delà puissanceu de la plus petite des racines de l'équationgénérale algébrique de degré m, et de celleracine elle-même. Lagrange est parvenuaussi à trouver les développements de tou-tes les autres racines de l'équation. Si doncle problème général de la résolution deséquations algébriques n'est pas considérél'omme résolu, cela tient à ce que les ex-pressions de ces développements ne sontpas convergentes, en général, et que Von

ignore les conditions de cette convergence, ouplutôt les moyens de l’obtenir.

Laplace, en eberebaut une démonstrationdirecte de la formule de Lagrange, est par-venu à une formule plus générale au moyende laquelle on obtient te développement d'unefonctio.i quelconque u = {y), y étant une

variable liée avec la variable indépendantex, par l'iquation

y = F \y ) ]

Les caractéristiques iL, F et ^ indiquentdes formes données de fonctions que!conqq<%Cette formule est