CALCUL INFINITESIMAL.
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sr.o
ï—
„ , du x d - : da x 2
u=ü+i—•—h-h-
da l du 1.2
dul —
da
K . 2 . 3 .. . n
. + etc.
'rang
= y \J ■■
dy‘
Norm.= 2/i/ t -f- dy
V
Ü désigne ce que devient u lorsque # =0,el z représente cp [y ) pour abréger. La sup-position x = 0 faite dans l'équation en y
donne y = F \a\!~~ ~ F' U/J, valeurs qu'ilda
du
faudra substituer danse ou <p \y) et dans — ’
Dans le cas particulier où y = a + x cp ( a >1» formule de Laplace en donne une qui nediffère de celle de Lagrange qu'en ce que lesecood terme de celle-ci est multiplié par x >le troisième para: 2 , le quatrième par x*, etainsi de suite. On obtient donc ensuite la for-mule de Lagrange en faisant x —
§ 3. Applications du calcul différentiel à tagéométrie.
Problème général des tangentes. — Soitune courbe plane quelconque représentée parl'équation y —f\x
l'équation de la tangente menée à la courbepar le point [x' y'), est
dy
v-y = Tj*-*\
Si le point #', y' est donné sur la courbe,on connaît immédiatement la valeur de —
et par suite la position de la tangente.
Si le point [ce, y 1 ) est hors de la rourbe, ondétermine les coordonnées x" et y" du pointde contact au moyen de» deux équationsy" =/<#")
dy"
y"-y'z=—lX"~ x ' ]
Si l’équation de la courbe était de laforme / \x,y) = U
l'équation de la taugente pourrait s'écrireainsi :
df , df
or la différentielle de l’équation de la courbeest :
df df
— dx + y- dy = 0
dx dy
/■désigne, pour abréger, la fonction/!#, y).
On passe donc de l'equation différentielle àl'équation de la tangente en remplaçant, dansla première, les dilférentielles dx et dy purles facteurs x — x'.y — y'.
L’équation de la normale ou perpendicu-laire a la tangente, sera
df . , df
Pour la courbe y —f\x\ t les longueurs de lataugente et de la normale, comprises entre lepoiut de contact et l’axe des x , de la sous-tangente et de la sous-uormale, soutdonuéespar les relations :
Sous-tang. = y ^Suus-norni. = y
Ces diverses équations et relations donnentdes solutions du problème direct des tan-gentes envisagé dans toute sa généralité.
Asymptotes. Les asymptotes non parallèlesà l’axe des y peuvent être considérées commedes tangentes dont le point de contact s'estéloigné a l'iuilni de cet axe. Il suffira donc,pour avoir leur équation , de chercher ceque devient l’équation de la tangente pourX — + oo.
On obtiendra de même les asymptotes nonparallèles à l'axe des x, en faisant yc+w,
Les asymptotes parallèles à l'axe des y , ouperpendiculaires à l'axe des x sout données. . . dy
par la relation = 0. Les valeurs de x quedx
l'on en tirera devront aussi rendre y itiDni.
Pouravoir les asymptotes perpendiculairesà l’axe des y on chercUe les valeurs de y qui
satisfont à l’équation — = 0, et qui corres-dy
pondent, par la courbe, à une valeur iutiuiede#.
Points singuliers. Certains points des cour-bes présentent des particularités remarqua-bles dépendant de la position des axes descoordonnées ou inhérentes à lu nature mêmede la courbe. Ceux qui se trouvent dans le se-cond cas portent le nom de points singuliers.
Si la fonction f[x,y) ne devient réelleque pour un nombre limité de valeurs de#,réquatio»/i#,y) =0, ne représentera qu’unpoint ou une suite de points isolés. Parexem-
, 2 2
pie, I equalion # -j -y r 0 ne représentequ'un seul point placé ù l'origine des coor-données. L'équation /(#, y\ = 0 peut four-nir en mémo temps un ou plusieurs pointsisolés et une ou plusieurs brandies de cour-bes, comme dans les équations
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y =# \x — a J et ay —x -f bx =0.
2° Lorsque la fonctiou f (#, y) = 0 passetout à coup du réel à l'imaginaire, ou changebrusquement de valeur, lu ligne que l'on con-sidère s’arrête tout à coup en certains pointsque l'on appelle points d’arrét.
Telles sont les deux courbes logaril'imiques
qui ont chacune pour point d'arrêt l'originedes coordonnées.
Lorsque la fonction/ (#, y) reste continue,c'est-à-dire qu'elle croit ou décroit inseusi-blemeut pour de très-petites variations de #et de y ; mais qu'en même temps le coefti-dy
cient différentiel — change brusquement dedx
valeur, tes deux branches de la courbe vieu-