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POINTS SINGULIERS. DEVELOPPEES.

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oeot se réunir en un point donné, de manièreque leurs tangentes forment entre elles uncertain angle. Ce point s'appelle un pointsaillant. Tel est, par exemple, le point corres-pondant à x = ü, dans les courbes représen-tées par les équations.

. \ X

y — x arc long -- y — -

x- ,

\ + e x

4® Si les deux branches d’une même courbes'arrêtent en un point donné , de manière àavoir en ce point une tangente commune , cepoint sera ce qu'on appelle un point de re-broussement ; de première espece si la tan-gente passe entre les deux bronches de lacourbe, et de seconde espèce si la tangentelaisse les doux branches d'un même côté.

5° On appelle points multiples ceux oùviennenise rencontrer au moins trois branchesde courbe qui s'y arrêtent, ou deux branchesau moins qui ne s’y arrêtent pas.

Ainsi la courbe y 2 = x 2 ( t — x 2 ) est for-mée de deux branches qui se croisent à l'origineeu touchant les droites y — -j- x, y = — x.

6<> Un point d’inflexion est un point où latangeuleet la courbe se traversent mutuelle-ment.

Pour déterminer les points singuliers des sixespèces, on emploiera les règles suivantes.

On reconnaît qu'un point situé sur la courbeu =/ (x, y) = ü est un point isolé , ou unpoiyt d’arrêt, ou un point saillant, ou unpoint de rebroussement, lorsque pour lescoordonnées de ce point on a les équations

-7-; = 0.-7— = 0. la fonction u et les coef-dx ? rfy ?

Ucients différentiels ^ et restant finis etrfx rfy

continus dans le voisinage de ce point.

1. Le point (x"y') sera un point isolé, t° siles ordonnées qui correspondent à xf h età xf — h, tirées de l’équation u = 0, sonttoutes deux imaginaires; 2° si à ce point lacourbe u’a point de tangente, ce qui exige quel'on ait

{—S

\ dx dy /

2 1 dx dy et

tlx L

<0

U L u d~u

n'claiH pas nuis.

II. Le point (x', y f ) sera un point d’arrêtt° si l’une seulement des ordonnées corres-pondant aux abscisses x' + h et x' — h estimaginaire; 2° si la courbe en ce point n'aqu’une tangente, ce qui exige que les coor.

données x' et y' vérifient la relation 0.

rfx 2

III. Le point x', y' 6era un point saillantt° si à chacune des abscisses x' -j- h, x' — hrépond une seule ordonnée très-peu différentede y', ou si à l'qne de ces abscisses répondentseulement deux ordonnées sensiblement égalesh y's 2<> si la courbe au point x / , y' a réelle-ment deux tangentes, ce qui exige que l'on ait

/ d 2 n Y d\i d\i > 0\ rfx rfy / rfx 2 rfy 2

IV. Enfin le point x\ y' ne pourra être unpoint de rebroussement qu'autant que la pre-mière condition exigée pour le point saillantétant remplie, les deux tangentes en ce pointse réduiront à une seule, ce qui exige que l'ou

/ rf u y _ (£_u <ru _ 0

V dx dy ) dx i ‘lu 1

V. Pour que n branches de courbe se réunis-sent en un point multiple, il faut que les coor-données de ce point satisfassent in-i sériesd’équations que l'on obtient en égalant à zéroles coefficients différentiels du premier, dusecond,... du |n — t) ème ordre de la fonctionu =/1 x, y) = 0 .

VI. Les coordonnées d'un point d’infiexioudoivent toujours satisfaire à l’équaliou

f/ 2 ?/

— « = 0 .

dx 1

Oscci.ation etcouhduke. L'angle infinimentpetit formé par deux éléments infinimentvoisins d’une courbe considérée comme unpolygone d’une infinité de côtés, est ce quel'on appelle l 'angle de contingence.

Le cercle dont le centre se trouve à la ren-contre des deux perpendiculaires élevées parles milieux de ces éléments, et qui leur esttangent, porte le nom de cercle osculateur,et son rayon p est le rayon de courbure dela courbe. La longueur absolue de ce rayou estdonnée par la formule

2\1dy U, t + —1

p = ±

2

rf y

2

dx

Les coordonnées a et b du centre du cercleosculateur au point x, y sont données par lesformules suivantes, où l’on a

d.s = Vdx 1 +’ 1 .'/ 1

du dx

/. = .-/+p-

Le cercle osculateur a ce que l’on appelleun contact du second ordre avec la courbe.

En général, la courbe y — cp lx) a avec lacourbe y =/(x) le contact de l'ordre le plusélevé possible, lorsque pour le point x’, y’les coefficients différentiels tirés de ces deuxéquations sont égaux par couples Jusqu'à unordre égal ou nombre des coefficients moinsun qui entrent dans l'équation y = cp {.r|.Ce contact est ce que l’on appelle osculation ,et la courbe y = ip (x) est oscvlatrice de lacourbe y =r/(x).

Les n équations que l’on obtient en éga-lant ainsi les ordonnées (p (x) et/fx| et leursn — \ premiers coefficients différentiels, ser-vent à déterminer les n coefficients arbitrairesde l’équation y = (p (x).

Développées. — Le centre de courbure oudu cercle osculateur peut être considèrecomme le point de rencontre de deux noi-males infiniment voisines.

La suite des points de rencontre de toutesles normales à une courbe détermine unenouvelle courbe que l'on appelle dèvelom>èede la première, qui elle, est la dévelop-

f >ante. Ces dénominations tiennent à ce quees normales consécutives à la premièrecourbe sont tangentes a la seconde, et à ce que