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CALCUL INFINITÉSIMAL.

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l’on peut engendrer la première au moyen dela seconde, en déroulant un fil que l'on auraitcomplètement enroule sur cette dernière. Dansce mouvement, le lit, supposé constammenttendu et inextensible, reste normal à la dé-veloppante et tangent à la développée.

L'équation de la développée (p (à, JJ J = 0s'obtient en éliminant x et y entre les troiséquations.

/ [x, y\ =o

/r> N lly

B - x + = "

dx dx

Pour ce qui concerne les surfaces courbeset les courbes à doubles courbures, leursplans tangents, leurs normales, leurs rayonset leurs lignes de courbure, leurs dévelop-pées, etc., nous renvoyons aux ouvrages spé-ciaux sur la matière Nous citerons en pre-mière ligne les excellentes Leçons de calculdifférentiel , rédigées par M/l’abbé Moignod'après les méthodes et les ouvrages publiés ouinédits de M. Cauchy ; leçons auxquelles nousavons emprunté les résultats de la théorie despoints singuliers.

â 4. Principes du calcul intégral.

obtiendra celtesire en intégrant cette diffé-rentielle, ce qui donne

-/•

ydx + C.

2

Si la courbe est une parabole dont l'équation2

soit y = 2 px , on tirera de cette équation ydy. . V<h/

= pdx, d'ou dx '—Substituant cetteP

valeur de dx sous ’e signe

f

il vient

BüT DE CE CALCUL ET NOTATION. — Le calculintégral a pour but d'apprendre à remonterdes quantités différentielles aux quantitésUnies d'où elles peuvent provenir.m — \

Ainsi mx dx étant la différentielle dem m

x , réciproquement x est Yintegralc dem — t ,

mx dx , ce que I ou exprime ainsi •

m-\

iesigne ^J (somme ou intégrale) indique la

sommation d'une infinité d'éléments in-linimeiH petits. Il faut observer que, lors-que deux quantités sont égales à une con-stante près, leurs différentielles sont éga-les; et que par conséquent, toute intégraledoit être augmentée d’une constante C quel’on détermine ensuite d'après les conditionsde la question.

Un exemple emprunté à la géométrie vafaire concevoir l’utilité du calcul intégral.

Soit AMNR lüg. 2) une courbe dont il s'agitde déterminer l'aire , c'est-à-dire la surfacecomprise entre l’arc AM de la courbe , l'abs-cisse AP = x, et l’ordonnée MP = y.

Si l’abscisse AP augmente d’une quan-tité inUniment petite P Q = dx f l’ordonnéeM P variera elle-même de HO=dy, le trapèzeinfiniment petit MPQ.N sera Vêlement diffé-rentiel de Faire de la courbe. Ce trapèze apour mesure (2 y + dy\ dx, ou simplementydx, parce que l'on peut négliger à côté decette quantité * dxdy, quiest un infinimentpetit du second ordre , et qui correspond autriangle MNO. 1.'aire de la courbe, se compo-fapl d'une infinité de trapèzes telsque ydx, on

Aire

+ C

3

y

p

■f c

comme ou peut s'en assurer à postenon par,.3

la différentiation de L 4- C

2 5 p

Remplaçant y par 2px , etobservaut qu’àl'origine des coordonnées en A, l’aire est nulle,et que, par conséquent, C =0 pour y = o, ilvient enfin

Aire A M P = | xy.

Résultat déjà connu qui montre que l'aire dusegment parabolique est les deux tiers durectangle de môme base et de même hau-teur. (Col. 162.)

Règles eon dam entales. — Les règles du cal-cul intégral dérivent nécessairement de cellesdu calcul différentiel.

D'abord les signes d

-f

relatifs à la dif-

férentiation et à l'intégration, s'excluent mu-tuellement, de sorte que Pon a

f

d / /(x) dx =/(.rj dx, et

/

d

F (.T, = F (Xi

on

ut faire sortir de dessous ie signe

v

f