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INTEGRATION DES FONCTIONS.
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une constante qui multiplie la différentielle,et écrire
Ç A / (x) dx — A Çj
f[x) dx.
On a en général
f[x) dx = F (X) 4- C,
m Ton sait que l’intégrale doive avoir unevaleur déterminée B pour x = a, on aurafl = B — F («), et la valeur de l'intégrale seraF te) - F («l + B.
Si l’intégrale est nulle pour x ~ a, et qu'onla prenne jusqu’à x = 0, sa valeur sera F | b)— F [a\. E'our exprimer ce résultat, on écrit :~*b
r
a
f\x] dx=z F [b] — F (tf).
C'est ce que l’on appelle l 'intégrale définie■ prise entre a et b.
L'intégration des différentielles qui pro-viennent des fonctions simples n'offre aucunedifliculté. On peut véritler à posteriori par ladifférentiation les résultats ci-dessous.
1° Différentiellesalgébrique*.
tc n dx
dx
X
2° Différentiellesd’expon entif.li.es.e x dx
LECRS INTÉGRALES.
x" + 1n + 42
U
LECRS INTÉGRALES.
CO*» X
dx
î
SMI. X
dx
la
LEl'RS INTÉGRALES
sin. X— COS. X
tang. .r
— cot. x
dx
dx
4 + x 2dx
\+x*
arc oos. x
arc tang. xarc cot. x
Ces formules subsistent également qua-nd, aulieu d'une variable x, on a une fonction quel-conque de x , et, au lieu de dx , la différentiellede celte même fonction.
L’intégrale de la somme de plusieurs fonc-tions différentielles est égale à la somme desintégrales de ces fonctions.
De la formule connue
duv = udv -{- vduon tire la suivante :
qui sert à Y intégration par parties et quiest employée à chaque instant dans le calculintégral, lorsque l'intégrale de vdu est plusfacile à trouver que celle de udv.
Intégration des fonctions rationnelles. —L'intégration des fonctions rationnelles en-tières se déduit de ce qui précède.
Four tffectuer l’intégration d'une fraction
rationnelle
' \x )f [x\
supposée réduite à sa plus
simple expression, et de laquelle on a extraitla partie entière, on la décompose en fractionssimples. Oti distingue plusieurs cas.
4<> si le dénominateur/U) peut se décom-poser en facteurs du premier degré, tous iné-gaux, on pose :
?w = + -2.,+ JL +...
f X x) x-a ' x-o 1 x-c 1«n obtient les numérateurs A, B, C en rem-plaçant successivement x par a, b, c, dans la. ,. F (OTI
J te)
2° Si le facteur x-a entre n fois dans/(x),on a / (xj = [x-a) n <p l«i, et l’on pose
K ! ’ rl — * + a t + 'i' w
F iXj (x—«J n (x— a) n ~ f <p 1^1
multipliant les deux nombres par / te)» Joi-gnant à l’équation qui en résulte ses n—» pre-mières dérivées et faisant ensuite x=a, on an équations de condition pour déterminer lesn coefficients A, Aj , A 2 , etc.
3° Si le facteur du second degré (x—a) 2 -{-6 2 auquel coriespondent des racines imagi-naires , entre dans le dénominateur/ |x), onposera.
r ixi _ f. x + b ^ |x|
/ |X| (x-a) î + fi 2 + cp (*|
Pour déterminer A et B, on prendra l'équa-tion
F (a+ 6 l/- t)
—-!—--f =A a
<p(a + S \/ - i)
+ B-j- A *
qui fournit deux relations distinctes en éga •tant séparément à zéro la partie réelle et lapartie imaginaire.
4° Butin, si le dénominateur renferme lefacteur multiple du second degré
[(-«)* +P 1 ]*
on posera
F ix)f (x)
égale à une somme de frac-
tions dont les numérateurs seront de la formeA x -f B, et dont les dénominateurs iront endécroissant depuis le facteur multiple du se-cond degré, jusqu’à ce facteur élevé seule-ment à Ta première puissance. La dernière