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CALCUL INFINITESIMAL.

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<L [x)

de toutes les fractions sera de la forme -- 1

cp (x)'

(p [x) étant le facteur qui, multiplié par lefacteur multiple du second degré, produit ledénominateur/ la:).

En multipliant par/ (a:) les deux membresde l'équation ainsi posée, que l’on prenne lesdérivées Jusqu'à l'ordre n—\ et que l'on fasseensuite x — a + (3 \/ —S, on aura unnombre n d'équations qui se décomposerontchacune en deux, ce qui donnera 'ln con-ditions pour déterminer les In quantités,(A, B), |Aj , B, ), etc.

L'intégration des quatre espèces de frac-tions partielles que l’on obtient en décompo-sant une fraction rationnelle, conduit aux ré-sultats suivants, abstraction faite de ia con-stante.

x—a

(■ x-tty

A I [x—a).

A

|/i-l) [x—a)

a a + B x — t

- arc tang —;—

IV. si l'on pose

r

s

. = z, on aura

( A x + Bl dx

[(x-a) 2 + fi 2 ] "

/

ïl»-0 [(*-*)’ + fi 2 ]"-

*« + 11 P dz

J (i+z*/‘

(h-, 2 )" 2 |re-l) (I + i 2 ) ,1_l

2/i— 3 f

+ -ilS=îT / (, +; 2 ) »-•

En diminuant ainsi successivement d uneunité l'exposant n, on arrive à l’intégrale

P dz

I - = arc tang z.

J 1+* 2

INTÉGRATION DE qcelqces fonctions irra-tionnelles. — Une fonction différentielle quine renferme pas d'autres radicaux que ceux

de la formé \/a + l>x + ^ 2 peut être ren-due rationnelle et intégrée par les procédésprécédents. Si t et a désignent les racines

réelles de l'équation x 2 — hx — a = 0, ilsufüt de poser le radical égal à Ç x — a ) z

dans le cas où x 2 est affecté du signe —;et de le poser égal à z—x dons le cas où l'ona + x 2 . On tire de ces relations x en z, etdx en dz, et l'on n’a plus que des expressionsrationnelles.

La différentielle binôme px m dx ( a + bx I ^

dans laquelle m et n sont des nombres quel-conques, peut être rendue rationnelle dansdeux cas particuliers, savoir :m 4- \

Quand-sera un nombre entier, et

quand la somme des fractions

m -{- t

forme un nombre entier. Dans le premier cas,

n _ m q

, et dans le second

on posera a + bx, , n q na + bx = z x ,

On peut préparer la différentielle binômede manière que l'exposant n soit un nombreentier et positif. L'intégration par partiesfournit alors des formules pour diminuer à

volonté les exposants m et £ et réduire ladifférentielle à sa plus simple expression.

Intégration par séries. — Quand on ne peutpas obtenir l'intégrale exacte d'une différen-tielle f (x) dx, on développe f\x\ en sérieconvergente, et on intègre ensuite chacundes termes après l’avoir multiplié par dx.

On peut appliquer ce procédé à la différen-tielle binôme quand elle ne se trouve pasdans les conditions d'inlègrabililé.

§5. Application du calcul integral à lagéométrie .

ItECTIFlCATION DES COORBES PLANES. — La

longueur de l’are s d’une courbe plane rap-portée à des coordonnée»; rectangulaires , apour expression générale

Soit prise pour exemple la parabole ?/ 2 = 2/;.r.»• dx y .

>otis aurons —• = • / dou

dp p

s= 'pf riv y/ 2 + -""

intégrale qui, prise depuis y = o a pour va-leur

s =W7+?+v 'K*+\/7+?)

Telle est la valeur de l'arc de parabole com-pris entre le sommet et le point dont l'ordon-née est y.

Quand la courbe est rapportée à des coor-données polaires r et t, la différentielle del'arc a pour expression