Rectifications, quadratures et cunATtuiEs.

•U9

ISO

,= s/

2 2 2dr + r dt

Dans la spirale logarithmique combe

dout l'équation est r=a ,on a1 dr

dt =-

1 a r

,=i r */« + !*<.

1 a y

l'intégrale dites r' et d‘, on

^v/'

En prenant l'intégrale du second membreentre les limites r' et d‘, on a

t +Ta

Quadrature des courbes planes. — Lors-qu'une courbe plane est rapportée à des coor-données rectangulaires, la partie de l'nirecomprise entre la courbe, l'axe des x et deuxordonnées quelconques correspondant auxabscisses xf et x" a pour expression

/ »x"

ydx

x?

Pour intégrer cette eipression, il faut, de l’é-quation delà courbe, tirer la valeurdey en x,ou la valeur de dx en y et en dy seule-ment.

Une courbe étant rapportée à des coordon-nées polaires r et t, on aura pour la portionde l’aire comprime entre deux ravons vecteursr' et r",

r'dt.

U r>

En appliquant cette formule à la spirale lo-garithmique r = a, on substitue la valeurI ar

ut = -— — dans l'intégrale précédente, eton en tire

I es principes du calcul inflnitésimal serventa démontrer sans peine une proposition fortremarquable dont Van-lleuraet se servit en1059 pour trouver la rectiilcation de la paraboiecubique ay 2 zzx 8 , en la faisant dépendre dela quadrature de la parabole ordinaire. Cetteproposition consiste en ce que si deux courbessont le les que pour une même abscisse l'or-donnée de la seconde soit proportionnelle auquotient de la normale de la première parl'ordonnée correspondante, la longueur del'arc de la seconde sera dans le même rapportavec l'aire du segment de la première.

Qüadratcre des surfaces et cubatcrb dessoudes de révolution. — Soit A l'aire décruepar l’arc s d'une courbe y =/(x| tournantautour de l'axe des x. L'elément différentielde l'aire de la surface est

flK=z2TZds

frétant le rapport de la circonférence audiamètre.

Pour intégrer celte différentielle on tirerade t'équatioo de la courbe y et ils en x et en

dx ou ds en y et en dy, de manière à n’avoirplus à chercher que l’intégrale d'une expres-sion de la forme X dx ou Y dy, X étant fonc-tion de x seul, et Y de y seul.

De même la différentielle du volume V dusolide de révolution compris entre la surfaceet entre deux plaus perpendiculaires à l'axedes x est

d V = tz y 2 dx.

Cette formule doit être préparée comme laprecedente avant l'intégration.

On peut obtenir par une seule intégralion,comme pour l^s solides de révolution, levolume dun corps qui est coupé par des plansparallèles suivant des sections dont l’aire e tfonction d'une seule variable.

Ainsi en coupant l’ellipsoïde dont l’équationest

par un plan perpendiculaire b l'axe des x et hla distance X de l’origine, on obtient poursection une ellipse dont l’aire a pour valeur

^U 2 -* 2 )-

Le volume entier de l'ellipsoïde sera doncdonné par la formule

) dx.

Prenant l’intégrale entre les limites + a et— a, on a V = 7C abc , résultat qui com-prend comme cas particulier le volume de lasphère 7T r 3 , lorsque a = b = c = r.

Quadrature des scrfaces et ccratcre pissolides d’une forme QrELcoNQüE. I. 'expressionde l'aire K d'une surface courbe quelconquez — f{x, y) s'obtient au moyen de l 'intégraledouble

— ^ dx J* dy 1 /

1 + P + 7

p et 7 sont les dérivées partielles de z , prisespar rapport à x et à y .

On commence par intégrer

iiy l/i + p 2 + q 1

par rapport à y, c'e-t-à-dire eu y considéranty seul comme variable; puis on multiplie pardx le résultat de cette première intégration eton intègre de nouveau par rapport à x.

Quant aux limites entre lesquelles doiventêtre prises les intégrales, elles dépendent dela portion de l'aire de la surface que l'on con-sidère.

S'agit-ü , par exemple , de la portion de lasurface comprise dans un cylindre verticaldont l'équation est F [x, y\ — 0 ? On tirera decette équation des valeurs de y en x qui sontles limites variables relatives à la trancheparallèle au plan des zy et à la distance x del'origine. Lorsque l'on aura substitué ces va-leurs de y dans la première intégrale, onprendra la seconde intégrale entre des limitesconstantes x ’ et x" qui sont les voleursmaxima et minima de x dans F | x, y I = 0.Ces nouvelles limites sont données par l’équa-tion que l'on obtient en éliminant y entre leséquations

U.