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CALCUL INFINITESIMAL,

F (*, y I = 0 el jj-O.

I.e volume V d’un corps terminé par Insurfaces =f{x,y ) s'obtieut au moyen dt*l'intégrale double

V

/■*/

/ I .x , y) dy.

Les limites de l'intégration s'obtiennentcomme pour Foire de la surface courbe.

Lorsqu'il s'agit d'obtenir le volume entierd'un corps terminé par la surface fermée quia pour équation [x, y, s) = 0, les deux nap-pes extrêmes de la surface ont pour ordon-nées ;

~ —fU.y) et ü"= F Ix, y |.

L'élément différentiel du volume est

tz"-z’l dxdy.

On intégtera d’abord cette différentielle parrapport à y, en y considérant x comme con-stant, apres y avoir remplacé y par des va-leurs en x que l'on tire de l'équation flunle ré-sultant de l'élimination de z entre les équa-tions

<7 «J/ i

_ »_ = 0, et ’-y I*. y. s) = 0.dz 1

La seconde intégration doit être effectuéepar rapport i> x entre les limites données parl'équation résultant de l'élimination de y etde z entre les trois équations

d<\j d'\j

•L (x, y, Z) = 0, -T^-rrOet — =0,

1 dy dz

I.a méthode de Thomas Simpson (voyezGéométrie, col. 22-4) est applicable à la rectifi-cation des courbes et à lu quadrature des sur-faces courbes, aussi bien qu'à la quadraturedes aires planes et à la cuoature des solides

S 6. Principes du calcul aux différencesMilieu.

Calcul direct acx différences. —Lorsqu'unefonction u, prend diverses valeurs consécu-tives Uq Uf u 2 , • • • pour des accroisse-ments successifs et finis des variables dontcelte fonction dépend, les différences entreces états consécutifs de la fonction sont appe-lées différences premières et représentéespar la caractéristique A* On a donc eu gé-néral

Les différences entre les différences pre-mières consécutives sont appelées différencessecondes, et représentées par A 2 . On a donc

À 11 n — t = A u n — A n,i _ |

On peut continuer ainsi et considérer les'différences troisièmes, quatrièmes, etc.

Il est facile d'obtenir la valeur u n de l'un desétats de la fonction u au moyen d'une premièrevaleur Uq de cette fonction et des différencesdes ordres successifs. Ou a pour cela la for-mule symbolique

u n =(i H- A) ”u 0

dans laquelle les exposants de A après le rié-

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veloppement indiquent l'ordre de la différencede u et non pas des puissances.

De même, de la connaissance des états sue-cessi h par lesquels la fonction u a passé depuisu m Jusqu'à u fn _|_ n , on peut déduire la va-leur de la différence de l'ordre n de u /nau moyeu de la formule symbolique

A ra U m = («_))" u m .

Dans le développemenl du second membre,on devra changer les exposants de u en in-dices.

La différence finie d’une fonction devientune différentielle lorsque les accroissementsdes variables cessant d'être Unis, deviennentinfiniment petits.

La recherche des différences finies des di-verses fonctions simples n'offre aucune diffi-culté.

Calcul inverse acx différences. — Ce cal-cul a.pour but de remonter des différencesaux fonctions primitives. L’intégration quel'on fjit pour cela s'indique par la caractéris-tique 2.

11 existe une formule générale par laquellel'intégration de ce genre pour la fonction une dépend que d'une intégrale ordinaire et desdérivées succesivesde la fonction u. Celte for-mule est :

V K Ç T (

- “ = TT J “ ,x ~ 7 “

h du h * d* u

-h- r +elc.

i 2 dx 720 dx

h désigne l'accroissement constant de la va-riable indépendante x.

La sommation des soites dont on connaît leterme général u n est une application impor-tante du calcul inverse des différences. L'inté-V n

grale ** u augmentée d’une quantité con-stante c , donne la somme de tous les termesqui précèdent ce terme général.

lin appliquant cette réglé à la sommationdes nombres polygones et figurés, on retrouveles formules connues. (Voir Algèbre, col. 81et suiv.)

Quelques-unes de ces formules sont fort uti-les pour évaluer facilement le nombre s deboulets compris dans une pile. Ces piles sontdisposées ordinairement avec symélrie, demanière que toutes les sphères égales qu'ellesrenferment soient tangentes.

Dans le cas d'une seule tranche triangulairedont le côté contient n boulets, on prendra leformule

U)... s = y» (n + l |.

Pour une seule tranche carrée, on aura