I

SOMMATION DES SUITES. INTERPOLATION.

tu

.de u lorsque l’on y rem-

Une pile en forme de tétraèdre régulier place a: par 0, h, 2 h, etc.

dont le côté renferme n boulets sera détermi-née par

(31... S= - n\n -H)

6 '

Dans une pile en forme de pyramide qua-drangulaire à base carrée, le nombre des bou-lets est

IM-

S= — n |«4 II P»+ II-

Pour que celte 6erie soit convergente, il fautque les différences consecutives aillent en di-minuant.

Lorsqu'on l'emploie pour trouver In valeurde x connaissant « et u elle donne, ens'arrêtant aux différences secondes, une équa-tion du second degré en x.

[.'illustre Lagrange a donné une formuled’interpolation remarquable par la symétriede sa forme , pour le cas où les valeurs con-nues a t « u u n de la fonction u, cor-respondent à des valeurs ? x^ s x^ x nnon équidistantes de la variable indépen-dante x.

Celte formule est

« = X 0 % + X ! “ ! + X -2 "•! + elr -X o ( X 1 X 2j .. étant donnes par la formulegenerale

(* - Mé - x t )( x ~ x -i)

Enfin, lorsque la pile a la forme d'une py-ramide quadrangulaire à base carrée dont lecôté est «augmentée d'un prisme, de tellesorte que l’arête supérieure contienne ni bou-lets, ou a

(5) s _ » ( n + < ) r w + 2

l.n forme de cette expression montre que lenombre loial des boulets est égal au nombrede ceux que renferme la face triangulaire ,multiplié par ie tiers de la somme des troisarêtes parallèles.

En faisant ni = \ dans la dernière formule,on retrouve l'avant-dernière.

Le problème inverse qui consiste à trouverle nombre des boulets qui dohent entrerdans la base de la pile est facile à résoudreAinsi ce nombre est la racine du plus grandcarré contenu dans 2S pour la foi-mule M );la racine du plus grand cube contenu dansüS pour (3), et dans 3S pour (’♦).

Formules d'imtf.rpolatio^. Elles servent èinsérer entre les termes donnés d'une suite denouveaux termes soumis à la même loi que lespremters.

La plus simple de toutes estXK

“ = “o + 7, «o

+ ï-â(-â-') A “ 0 + **■

Elle donne successivement toutes les valeurs

X ,

Jf

■(*

■n)

' (*/,

r *)

dans laquelle on supprime à la fois au numé-rateur et au dénominateur le facteur qui ena m avant lui.

$ 7. Détails historiques et bibliogra-phiques

Les premiers essais du calcul différentielfurent publiés par Leibnitz dans les Actes deLeipsig du mois d’octobre 168'». Le mémoireouest consignée cette admirable découverteest intitulé : Nova methodus pro maxinusetminirnis, itemque tangentibus, quas necjractas nec irrationales quantitates mo-ratur, et singu/are pro ilhs calculi genus.Les premiers principes du calcul intégral pa-rurent quelque temps après dans un écrit por-tant pour titre: l)e (ieometrid reconditii etanatysi indivisibilium , atque inflnito-rum.

ce ne fut que sur la fin de l’année 1686 queNewton mil au jour son livre immortel desPrincipes , dans lequel est exposé le calculdes fluxions, qu’il avait déjà inventé, très-probablement depuis plusieurs années. Ce«aïeul est tout-à-fait analogue au calcul diffé-rentiel, mais inférieur à celui-ci sous le rap-port des notations et de la métaphysique.Aussi les travaux des géomètres du fontinenl,les Bernouilli, le marquis de l’Ilospitnl, por-tèrent-ils uniquement sur la méthode de l.eib-

ni Quelques années plus tord, lorsqu’il l'aidede ce puissant instrument, ils eurent étonnél'Europe savante par un nombre prodigieuxrie découvertes remarquables, on souleva laquestion de priorité entre Leibnitz et Newton;et le commencement du dix-huitième siècleoffrit le spectacle déplorable d'une polémiqueanimée entre deux des plus grands génies destemps modernes.

« ün peut, dit Lagrange, regarder Fermât» comme le premier inventeur des nouveaui cal-» culs. » Les travaux de Descartes , de Pascal, deFermat.de lluygens, de Barrow.de Itoberval,de Wallis et surtout de Newton, prouvent en ef-fet que l'on touchait depuis long-tempsà cettegrande découverte, lorsqu'elle fut proclamée