217 PROBABILITÉS SIMPLES ET COMPOSÉES. 258

m n p

- y - 1 . —»

m + n + p rn + n-r p m •+- n + pdont la somme est égale à l'unité.

Au lieu d'urne et de boules, on pourraitconsidprer un prisme droit allongé, dont lesbases seraient des polygones réguliers de m4 - n+ p côtés, et qm'aurait m faces noires,n blanches et p rouges.

II. L'évaluation précédemment donnée pourla probabilité suppose les cas également pos-sibles. S'ils ne le sont pas, on déterminerad’abord leurs possibilités respectives dont laJuste appréciation est un des points les plusdélicats de la théorie des probabilités ; et laprobabilité est alors la somme des possibilités .de chaque cas favorable.

Par exemple, au jeu bien connu de pile ouface, si l'on cherche la probabilité d'amenerpile au moins une fois en deux coups, onpeut ne compter que trois cas différents, sa-voir : pi/e au premier coup, ce qui dispensed’en jouer un second \face au premier et pileau second coup; eitHn/d/cd au premier ei ausecond coup. D’Alemberl considérant à tortles trois cas comme également possibles enconcluait que la probabilité cherchée estMais il est visible que la probabilité d'amenerpile au premier coup est -i , tandis que celledes deux autres cas est A, de sorte qu'en vertudu principe II ci dessus, la probabilité cher-chée est réellement ^ -f- | ouOn parvient au même résultat en considé-rant que les lettres a et b ne peuvent donnerlieu qu'aux quatre arrangements egalementpossibles

tui, ah, ha, bb

et queiroisdecesarrniigemeutssont favorablesà l eveneiiiem dont on cherche la probabilité.

L'exemple suivant montre une nouvelle ap-plication des probabilités composées.

Ou a des urnes en nombre a contenant cha-cune m boules blanches et n noires , et desurnes en nombre b contenant p boules blan-ches et q boules noires On demande la pro-babilité d'extraire une boule blanche en pre-nant au hasard dans l'une quelconque de cesurnes.

Les probabilités d’extraire une boule blan-che d'une des urnes de laprennèreet de lu se-conde série sont respectivementm n

—— et —

rn- f» p+q

Les probabilités relatives de mettre la mainsur une urne de la première ou delà secondesérié, sont

a b

— — ej ___

fl+ô a-\-b

Les probabilités composées d'extraire uneboule blanche de l'une ou de l'autre sene sontdonc

am b p

- et --— ;

[a+b\ip+q)

vt la probabilité totale est évidemment lasomme de ces probabilités partielles.

III. Si les événements sont indépendantsles uns des autres, la probabilité de l'existencede leur ensemble est le produit de leurs pro-babilités particulières : ce que l'on exprimeordinairement en disant que ta probabilitécomposée esi le produit des probabilitéssimples.

Supposons par exemple que l'on ait assem-

blé dans un paquet les 13 cartes d'une mêmecouleur qui se trouvent dans un jeu completde 52 cartes, et qu'on demande la probabilitéque les deux premières cartes du paquet soientun as et un deux. La probabilité que Vassoit ta première dans le paquet de IScurtesest

—cette carte ôtée, il en reste 12, et la pro-

babilité que le deux soit la première du nou-veau paquet est ; ainsi la probabilité duconcours de ces deux événements sera

Cl * 12 13#*

On arriverait au meme résultat , quoiqued'une manière moins simple, en remontant al'énumération de toutes les chances possibles.On sait que le nombre des permutations dont13 cartes sont susceptibles (voyez Algèbre,col. 8'd est

1.2.3. *.... 12 . 13

Lorsque 2 des 13 cartes ont une place dé-terminée, il en reste H autres que Loti peutarranger de toutes les manières possibles,c'est-à-dire que le nombre des chances favo-rables est de

1. 2. 3.... 10. 11

La probabilité sera par conséquent égaleraitrapport de ces deui produits , ou à

en supprimant les fadeurs communs.

IV. Quand deux événements dépendent l’unde l’autre, la probabilité de l'événement com-posé est encore le produit de In probabilitédu premier événement parla probabilitéque,cet événement étant arrivé , l'outre arrivera.

Ainsi soient trois urnes A, B, C, dont deuxne renferment que des boules blanches, etdont une ne renferme que des boules noires.On demande la probabilité d'extraire à la foisdes urnes B et C des boules blanches. La pro-babilité d’extraire de C une boule blanche est

— • et si cette boule blanche avai t été réclle-3 ’

ment extraite, comme l'indécision ne porte-rait plus que sur les urnes A et B, la probabi-lité d’extraire une boule blanche de B serait ^ '

La probabilité d'eitraire è la fois des boulesblanches des urnes B et C est donc

V. Si l'on calcule à priori la probabili'é del'événement arrivé, et la probabilité d’uu évéiK-ment composé de celui-ci et d'un autrequ’on attend; la seconde probabilité diviséepar la première sera la probabilité de l'événe-ment attendu, tirée de l'événement observe.

Ce principe e6t un corollaire du précédent.

DÉTERMINATION DK8 PROBABILITÉS DANS LF. SÉPREUVES RÉPÉTÉES DES MÊMES HASARDS . — On

entend ici par épreuves répétées la successiond'événements indépendants les uns des autres,comme les Jets successifsd'un même nombre dedés semblables, ou les lit ages de numéros prisdans une urne et remis chaque fois alln deconserver toujours le môme rappoit entre lenombre de chances de chaque espèce.

Les probabilités d'événements de ce genrese déterminent d'abord par les probabilitéscomposées.

Par exemple , s'il s'agit de savoir quelle estla probabilité d'amener deux fois de suite le