CALCUL DES PROBABILITÉS.

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point G avec un dé à G faces, c'est comme sil'on cherchait le concours de deux événementsdont la probabilité simple est de^; on auradonc pour la probabilité demandée

La probabilité de ne pas obtenir 6en 2 coupsest x =-||. La somme de ces deux pro-babilités n'est pas égale à l'unité, parce qu'ily a en outre le cas où 6 n'arriverait qu'aupremier coup, dont la probabilité est £ Xet le cas où 6 n'arriverait qu'au second coup,dont la probabilité est X La réuniondes probabilités correspondant ù ces quatrecas est

t 5 , 5 , 25 36

— _i_ — -{- — -j- — ~ — — 1.

3G 3G 30 3G 3G

La formule du binôme de Newton donne àla fois toutes tes probabilités des divers évé-nements qui résultent des Jets successifs dumême dé. Car si p et q désignent les probabi-lités respectives de deux événements contrai-res , on voit, d'après ce qui précède, quep m ~~ n q n est la probabilité que l'événement<7 arrivera n fois sur mcoups, dans des rangsdéterminés. Mais si l’on ne détermine pasl’ordre des événements simples, comme les nicoups pris n h n peuvent donner un nombrede combinaisons différentes déterminé par lecoefficient delà formule du binôme dans leterme qui en a n avant lui { voyez Algèbre ,col. 83), la probabilité d'obtenir n fois l'evé-nement <7 ou m—/* fois l'événement p sera exprimée par

” l”- 1 *.<"-*+*> rn-n «

t. 2. n 7 q

Les divers termes du développement de la

f tuissance m du binôme p + q donnent donces proba bilités d’obtenir les événements p et qdes nombres déterminés de fois en m coups.

La somme des deux premiers termes du dé-veloppement donne la probabilité que l’événe-ment p n’arrivera pas moins de ni— t fois surles m épreuves.

La somme des trois premiers termes indi-que la probabilité de n'avoir pas moins dem— 2 fois l'événement p et plus de 2 l'ois l'évé-nement q sur les m épreuves.

Si, par exemple, on demande la probabilitéd'amener le point G au moins deux fois dansquatre Jets successifs d’un dé à six faces , onfera p = A, q = A , m = 4 , et on prendrala somme des 3 premiers termes du dévelop-pement de (p+ < 7 )\ ce qui donnera

_L + < .LL + c -L_ 2 L = JÏL

„4 1290

probabilité comprise entre i etOn peut se proposer de déterminer le nom-bre d’épreuves nécessaire pour qu'un événe-ment acquière une probabilité donnée. si l’ondemandait en combien de jets du même dé onobtiendra la probabilité ^ que le point 6 arri-vera au moins m — n fois, on aurait p = }

q — et il faudrait déterminer ni par lacondition

n +fr

'q + ....

4 . m |f " ~ 1 ~~ n + 1 1 yfn — n^n

i. 2.... n

ce qui ne pourrait s'obtenir que par tâton-nement.

m

Lorsque/» est plus grand que — , on peut

simplitler la recherche de m en prenant lacondition.

ni m ni — \ ,

f — g= q -I —q +...

m Un — 11... nl. 2... 1« + 11

n + I m — n — tq P

dans laquelle le nombre de termes devientmoindre que dans la précédente.

Si, par exemple, on demande en combiend'épreuves on obtiendra la probabilité g quel'évènement p arrivera au moins uue fois, onaura m — n — t, et ou prendra

log. t

d'ou ni = ■«

log. q

Cette formule sert à trouver le nombre dejets de deux dés. dans lequel il y a autant deprobabilité d’amener deux six |ou sonnez |que de ne pas le faire. Il sufüt de poser.

I -# =d'où ni —

' 56'log. 2

log. 3G — log. 33

24,6

ce qui démontre que l’événement proposé estmoins probable que le contraire, quand oiin'embrasse que 24 jets, et plus probable, quandon en prend 23.

Loi des grands nombres. — Au milieu descauses variables et inconnues que nous dési-gnons par le mot de hasard , et qui rendentincertaine et irrégulière la marche des évène-ments .tant qu'on ne considère que des casparticuliers, on voit naître, à mesure qu’ils semultiplient, une régularité frappante. Conce-vons, par exemple, une urne qui renfermedes boules blanches et des boules noires, etsupposons que l'on remette dans l'urne laboule que l’on vient d'en tirer, chaque foisque l'on va procéder à un nouveau tirage. Lerapport du nombre des boules blanches ex-traites au nombre des boules noires extraitessera le plus souvent très-irréguüer dans lespremiers tirages; mais les causes variables decette irrégularité, se détruisant mutuellementdons un grand nombre de tirages, laissentde plus en plus apercevoir le rapport des boulesblanches aux boules noires contenues dansl’urne, ou les possibilités respectives d'en ex-traire une boule d'une de ces deux couleurs, àchaque tirage.

Cet exemple particulier servira è faire com-prendre une proposition conforme aux loisdu bon sens et de l'observatioo, et dont tadémonstration, qui offrait de grandes difficul-tés, a été donnée pour la première fois parJacques Rernouilii. On éuonce ainsi cetteproposition :

« On peut toujours assigner un nombred'épreuves tel, qu'il donue une probabilitéaussi approchante de la certitude qu'on levoudra, que le rapport du nombre de répéti-tious du même événemeut à celui des épreu-