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Tes oe s’écartera pas de la probabilité simplede cet événement au-delà ae limites données,quelque resserrées qu'au suppose ces limites. »
11 suit immédiatement de ce résultat queles rapports des effets de la nature 6ont àpeu près constants, quand ces effets sont con-sidérés en grand nombre. Ainsi, malgré lavariété dcsaunées, la somme des productionspendant un nombre d’années considérable e6tsensiblement la même; c'est à l'homme à ré-partir également entre tous les temps les biensque la nature produit avec uue inégalité ap-parente chaque année.
beaucoup d’effets dus aux causes moralessont eux-mêmes soumis à la loi des grandsnombres . Le rapport des naissances annuellesà la population et celui des mariages aux nais-sauces n'éprouveat que de très-petites varia-tions. A Paris , le nombre des naissances an-nuelles est à peu près le même. On a observéà Paris et à Londres que, dans les tempsordinaires, le nombre des lettres mises au re-but pour défaut dans les adresses, change peuchaque année.
On voit encore que, dans une 6érie d'événe-ments indéfiniment prolongée , l'action descauses régulières etconstautes doit l'emporterà la longue sur celle des causes irrégulières.C'est ce qui rendait les gains de la loterieaussi certains que les produits de l’agriculture:les chances qu'elle se réservait lui assuraientun bénéfice auus l'euscmbie d'uo grand nom-bre de mises.
Ainsi des chances favorables et nombreusesétant constamment attachées à l'observationdes principes éternels d’humanité, de justiceet de raison qui foudent et maintiennent tessociétés, ce seul motif devrait surtire pour quel'on nes'en écartât Jamais.
La régularité frappante qui se manifestedans la succession inaéüuiment prolongée desévénements du même genre a toujours étéconsidérée à juste titre comme uue preuve dela Providence. C'est en vain que l'on a nié laréalité des bases de cette croyance, si généraleet si consolante, en prétendant substituer de6lois aveugles à une volonté intelligente. JVest-il pas évident qu'admettre ces lois, c'est ren-dre tacitement hommage a l'intelligence su-prême qui seule peut les avoir établies ?
8 2. Quelques applications du calcul despivbabilités.
Application des combinaisons. — Les proba-bilités d'Oter un nombre pair ou impair, enpreuant au hasard dans un tas composé de m
f uèces, sont exprimées respectivement par lesradions.
.> //* — 4 _ f j w — t
2 "‘-I 2"‘-t
La probabilité de voir sortir au moins unnuméro sur deux que l'on a pris, dans un ti-rage de 5 numéros sur 90 contenus dans laroue, est égaie à la somme des 2 fractions
88 . 87 . 8(i . 85 88 . 87 . 80
'X -et-
t . 2 . 3 . 4 1.2.3
00 . 89 . 88 . 87 . 80
divisée par la fraction-ou
1 . 2 . 3 . 4 . 5
87
Au bout de 100 tirages, la probabilité quetous les numéros seront sortis est o,74tû à 0,0001près, au bout de200 tirages, celte probabilité
est 0,9990 qui dirfère très-peu de l'unité ou dela certitude.
Jeux. Espérance mathématique et espé-rance morale. — On doit regarder commeéquitable tout jeu dans lequel Tes joueurs dé-posent des sommes proportionnelles nu nom-bre des chances qui les feraient gagner.
Si l'on appelle espérance mathématiquele produit de ia probabilité par le gain quepeut espérer chacun des joueurs ou par lamise de l'autre joueur, le principe précédents'énoncera en disant qu'avant de commencerà jouer, les espérances mathématiques desJoueurs doivent être égules.
Lorsque des joueurs viennent à se sépareravant que le jeu soit terminé, on règle le par-tage d'après un nouveau principe , savoirque : Tout joueur perd la propriété de l'argentqu'il dépose, mais acquiert, en revanche, surle fonds du jeu, un droit proportionnel à laprobabilité qu'il a de gagner ce fonds.
Lorsque les espérances mathématiques nesont pas égales, alors, en vertu de la loi desgrands nombres , le gain de l'un des joueursdoit aller en augmentant, et on peut toujourstrouver un uombre d'épreuves pour lequel laprobabilité que ce gain atteindra une sommedéterminée approche autant que l’on voudrade la certitude.
Telle était la cause des bénéfices des mai-sons de jeu ef des loteries. On doit applaudirà la destruction de ces établissements honteuxdont le succès était fondé sur les mauvaisespassions ou sur l'ignorance des individus quicherchent leurs moyens de subsistance ou larichesse ailleurs que dans un travail utile àla société.
A la loterie, Yextrait simple ne rendaitque 15 fois la mise, quoiqu'il dût rendre 18fois cette mise; l'extrait déterminé ne ren-dait que 70 au lieu de 90 fois ; Vambe, 270 aulieu de 400 fois -j ; Vambe déterminé , 5100 aulieu de 8009 fois; le terne , 5500 au lieu de11748 fois; te quaterne, 75000 ou lieu de51 t 038 fois; euûn le quine, 1 000 000 au lieu de43 949 268 fois la mise.
Cependant on doit ajouter que lors mêmeque les chances du Jeu seraient égales, unhomme raisonnable ne consentira point à ex-poser une somme un peu forte dans l'espé-rance d'un petit gain très-probable; mais ilse déterminerait au contraire aisément à ris-quer une faible somme pour obtenir un gainconsidérable et d'une probabilité fort petite.Il faut donc distinguer l 'espérance moralede l’espérance mathématique et ne pas pren-dre celle-ci pour règle unique d'une détermi-nation dans les circonstances analogues à celleque nous venons d'indiquer.
Singulier procédé pour trouver, par des
ÉPREUVES RÉPÉTÉES, LE RAPPORT 1>E LA CIRCON-FÉRENCE au diamètre. — Que l'on trace sur unesurface plane une suite de ligues droites paral-lèles et également espacées; que l'on prenneune aiguille bien cylindrique, d'une longueurmoindre que l'intervalle constant qui séparéles parallèles, et qu'on la projette au hasard ungrand nombre de fois sur la partie de la sur-face qui est couverte par les lignes, si oncompte le nombre total de fois oü l'aiguille aété projetée, et que l'on note le nombre de sesrencontres avec l'une quelconque des parallèles,le rapport de ces deux nombres, multiplié parle double du rapport de la longueur de l'ai-guille à l'intervalle des droites équidistantes,exprimera le rapport de la circonférence audiamètre avec d'autant plus d'approximationque les épreqveg auront été phts mullipliéPU,