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En désignant par d l'intervalle de deux pa-rallèles voisines, par a la longueur de l'aiguille,par y le nombre des rencontres, et par q lenombre total des jets, pétant très-grand, ouaura la formule
I.'erreur sers la plus petite possible pour unnombre donné d'épreuves, lorsque la longueura de l'aiguille sera égale au quart du produitde l'intervalle d des divisions par le rapport ttdont la valeur est connue. (Voyez Géométrie ,col. 121.)
Ainsi on pourra faire l'eipérience avec uneaiguille de 50 millimètres de longueur en laprojetant sur des parallèles dont l'intervalleserait de 63 millimètres et —, ou sur des don-nées proportionnelles è celles-ci.
Sommation de certaines séries. — Leibnitz a fait une application non moins singulièreque (s précédente qui est due à I.aplace. Pourtrouver la véritable valeur de la série indé-finie
1 - t + t - 1 4 1 - 1 etc.,il fait observer que la suite devient l'unité ouzéro, suivant que l'on s'arrête à un nombre determes impair ou pair; et comme dans l'in-Uni, il n'y a aucune raison de préférer le pairb l'impair, on doit, suivant les règles des pro-babilités, prendre la moitié des résultats rela-tifs à ces deux espèces de nombres.ee quidonue 4 pour la véritable valeur de la série.
Nonobstant l'objection que I.aplace a faite àce raisonnement, M. Lacroix a prouvé que rienne s'opposait à ce qu'il fût admis. ( Voir sonTraité iu-4° du calcul différentiel et du calculintégral, t. m, p. 160.)
UÉSCLTATS MOYENS. — MÉTUODE DES MOINDRES
carrés. — Une des applications les plus utilesdu calcul des probabilités consiste dans la re-cherche du résultat le plus probable entre uncertain uombre d'observalions qui ont donnédes résultats différents.
Dans le cas le plus simple, où la détermina-tion d'une quantité ne dépend que de l'obser-vation d'un seul fait, on doit prendre lamoyenne arithmétique des observations, c’esi-ù-dirc , la somme des nombres donués par lesobservations et la diviser par le nombre de cesobservations.
Elus généralement, lorsque la théorie donne,pour l'expression d'uue certaine loi, une équa-tion de la forme
x+ay + bz + ct+... + A'= 0 ... Il)qui lie entre elles les n variables x,y,z, t ....et que cette théorie ne fait pas connaître lesvaleurs des coeflicients constants a, b , c..., k,on peut se proposer de les détermiuer parexpérience avec autant d'exactitude que pos-sible.
Supposons que l'on ait fait pour cela unnombre d'observations n + m plus grand quele nombre des n coeflicients à déterminer. Lasubstitution des résultats de n des observa-tions faites daus l'équation (t), donnerait néquations qui détermineraient les n coefli-cients a , b, c..., k. .Mais la substitution des ré-sultats des m autres observations dans l'équa-tion |i) où les coeflicients auraient été ainsicalculés, ne rendrait pas généralement cetteéquation identique : le second membre, au heud'étre nul, prendrait une valeur numérique E,qui n'est autre chose que l’erreur due à ce queIe6 observations ne sont pas parfaitementexactes.
Le calcul des probabilités démontre que l'onobtient la plus grande approximation possible,lorsque l'on s'arrange de telle sorte que lasomme des carrés des erreurs E 6oit un mini-mum. Or, d'après les principes du calcul dif-férentiel (voyez col. 235), celte deruière condi-tion fournira les n équations suivantes, où 2désigne une somme arithmétique de quantitéssemblables, correspondant aux n + m obser-vations :
« xy + « 2 y 2 + * 2 i/ z + c 2 yt +... = ü+ +c2: f +- =0
xt + tf 2 yt -f b 2 zt -f- ci -r— =0
La loi de toutes ces équations est facile ilsaisir : en général, pour former l'équation duminimum, par rapport à l'un des coefllcienisà déterminera, b, c..., il faut multiplier tousles termes de l'équation proposée par lu varia-ble qui a ce coefficient dans l'équation , et éga-ler à zéro la somme de tous les résultats quel’on obtient, en substituant dans le produit,ainsi obtenu, toutes les données des observa-tions. On obtient ainsi, entre les n coefücienlsa , b , c..., k t un nombre n d’équations à laformation desquelles toutes h s observationsconcourent également, et qui servent à déter-miner les valeurs les plus probables de cescoeflicients.
Dans le cas très-usité où l'on n'a que deuxcofUcients à déterminer a et A:, dans la rela-tion x — ay — k = 0, les valeurs de cescoeflicients seront données par les formules
n i xy — 2 x 2 y
y
xy
«2
La méthode des moindres carrés , qui vieutd'étre exposée , est employée à chaque instanten astronomie, en physique et en général dansles sciences d'observation. M. NUntz, ingé-nieur des ponts et chaussées , l'a appliquéeavec 6ucces à la détermioution exacte de laformule des transports qui est x — ay — k— ü, a étant le prix du transport de l'unité depoids à l'unité de distance , k la dépense, con-stante pour une même matière, du charge-ment et du déchargement, et enûu x lasomme à payer pour le transport de 1'unilé depoids à la distance y. (Voyez les Annales desPonts et Chaussées , 1 e * sem. de 183'»,
p 86.)
$ 3. Esquisse historique et bibliogra-phique.
Avant Pascal et Fermât , personne n'avaitdonné des principes et des méthodes poursoumettre au calcul les rapports des.chancesfavorables ou contraires aux joueurs, les réglésdes enjeux et des paris . Le chevalier de Méréfut le premier qui tourna l'attention de Pas-cal vers le calcul des probabilités , en luiproposant de trouver le nombre de jets de deuxdés, dans lequel il y a autant de probabilitéd'amener sonnez que de ne pas l’amener.(Voyez col. 260). Mais on u'a conservé que lesouvenir des paradoxes que la solution de Pas-cal inspira au chevalier ; tandis que les traces