COMPOSITION DES FORCES.

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COMPOSITION DES FORCES QUELCONQUES.—Tant

de forces que l'on voudra, appliquées d'unemanière quelconque à un corps, peuvent tou-jours se réduire è une seule force et à un cou-ple unique , lesquels sont, eu général, situésdans des plans différents.

Celte proposition est fondée : 1° sur ce quel'on peut pour chacune des forces P qui solli-citent un svstème appliquer è l'un quelconquedes points'de ce système deux forces contrai-res p et — P 1 égales à P , sans que pour celale système soit changé ; 2 e sur ce que tous lescouples (P,—P’ 1 peuvent se composer en uncouple unique, aussi bien que toutes les forcesP’ peuvent se réduire à une force unique.

On peut dire encore que tant de forces quel'on voudra, dirigées arbitrairement dans l'es-pace , peuvent toujours se réduire à deux auplus, non situées dans le même plan : et deuxforces qui sont dans ce cas ne peuvent avoir derésultante unique.

Mais quand de trois forces on n'en peut trou-ver tout au plus que deux qui soient situéesdans un même plan , il est toujours possiblede rendre ces trois forces réductibles à uneseule, sans rien changer à leurs directionsdans l'espace.

La géométrie analytique à trois dimensionssert à exprimer par des équations la couditionnécessaire pour que des forces en nombrequelconque aient une résultante unique, ainsique la valeur et la position de cette résul-tante.

Pour cela on désignera par <r, b, c les an-gles que l’une des forces P du système faitavec trois axes rectangulaires de coordonnées ;par R la résultante ; par a, {2, Y * es an 8 ,esque cette résultante fait avec les axes ; parX, Y et Z les sommes de quantités analoguesà P cos. rt, à P cos b et à P cos. c pour toutes lesforces du système ; enfin par L, M , et N lessommes de quantités analogues aux produitsP I z cos b—y cos c),

P \x cos c—z cos «),

P |y cos a—x cos b\.

Alors la condition, pour qu’il y ait une ré-sultante unique, sera exprimée par l'équation

1.X + MY + NZ = 0

Et lorsque cette condition sera satisfaite ,pourvu cependant que les trois résultantesX, Y, Z ne soient pas nulles ô la fois, la vo-leur de la résultante est

R=t/ X 2 + Ï 2 +Z 2et les angles que sa direction fait avec lesaxes des coordonnées sont déterminés par lesrelations

X Y Z

Cos a = —. cos 8 =5 — COS Y = --m * r *> * if

Conditions générales dp. l'équilibré. —Dans le cas de l'équilibre , les G quantités X ,Y,Z et L, M , N doivent être nulles séparé-ment, ce qui s'exprime en langage ordinairede la manière suivante :

Pour qu'un nombre quelconque de forcessoient en équilibre, il faut d'abord que lasomme de ces forces décomposées parallèle-ment à trois axes qui se coupent soit nulle parrapport à chacun de ces axes. Ensuite, en con-venant d'appeler moment d'une force parrapport à un axe le produit de la projection dela force sur un plan perpendiculaire è cet axe,par la distance de la projection à l'axe, lestrois dernières conditions de l'equilibre s'é-

noncent en disant que la somme des momentsdes forces doit être nulle par rapport à chacundes trois axes des coordonnées.

Si l'on vient à supposer que toutes les forcesconcourent en un même point, les trois der-nières équations disparaissent d'elles-mèmes ,et on voit qu'il suflit, pour que l'équilibre aitlieu dans ce cas, que la somme des composan-tes des forces suivant trois axes qui se cou-pent , soit nulle par rapport à chacun de cesaxes.

Dans le cas particulier où les forces sontparallèles, on trouvera , d'après les équationsprécédentes, que la résultante est égale à lasomme algébrique des composantes, en comp-tant comme positives celles qui agissent dansun sens, et comme négatives celles qui agis-sent en sens contraire. De plus le moment dela résultante, par rapport à un plan quelcon-que parallèle à In direction des forces, est égala la somme algébrique des moments des com-posantes par rapport au même plan. Le mo-ment est , dans ce cas , le produit de la forcepar sa distance au plan ; le signe du momentchange , soit avec celui de la force, soit aveccelui du bras de levier ou de la distance nuplan. Lorsque la force et le levierchaiigent designe tous les deux, le moment tend a fairetourner dans le même sens, et ne change pasde signe.

La distance de la résultante à un plan pa-rallèle à la direction des forces, étant égaleà la somme des moments des forces diviséepar la somme des forces, il est facile de déter-miner la position de la résultante dans l'es-pace par ses distances ù deux plans fixes.

Pour qu'un système de forces parallèles soiten équilibre, il faut et il sufût que la sommealgébrique de ces forces soit nulle, et que lessommes de leurs moments par rapport è deuxplans parallèles à leurs directions soient nullesd'elles-mémcs.

Centres des forces et des distances. — Sil’on considère un système quelconque de for-ces parallèles appliquées è un assemblage depoints, et qu'on incline successivement toutle système de ces forces dans diverses situa-tions, de manière que les mêmes forces pas-sent toujours par les mêmes points et conser-vent leurs grandeurs et leur parallélisme, lesrésultantes générales qu'on trouvera successi-vement dans chacune de ces positions se croi-seront toutes au même point, auquel ondonne le nom de centre des forces paral-lèles.

M. Minding, professeur à Berlin , est parvenuh une propriété analogue et beaucoup plus gé-nérale, pour un système quelconque de rorcesnon parallèles. Elle consiste en ce que les for-ces d'un système étant supposées telles qu'ellesne se fassent pas équilibre, si on les fait tour-ner autour de leurs points respectifs d'appli-cation. sans déranger leurs inclinaisons mu-tuelles, il y a une infinité de positions dusystème dans lesquelles toutes les forces peu-vent être remplacées par une résultante uni-que. La direction de cette résultante coupetoujours les contours d'une ellipse et d’unehyperbole, situées dans deux plans perpendi-culaires entre eux; ces deux courbes sontd’ailleurs dans de telles relations, que les foversde l'une coïncident avec les sommets de l'au-tre. Réciproquement, chaque droite qui jointun point de l'ellipse à un point de l'hyperbole,peut être considérée comme la direction delàrésultante unique, pour une certaine positiondu système.

Puisque le centre des forces parallèles estsitué sur la direction de la résultante, la dis-