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tance de ce point a un plan quelconque se trou-vera comme la distance de la résultante à ceplan, en supposant que toutes les forces , sanscesser d'être parallèles et appliquées auxmêmes points, sont devenues parallèles à ceplan. Hn faisant In même opération pourtrois plans, le centre des forces parallèles seradéterminé.

Si toutes les forces sont égales et de mêmesens, ta position du centre ne dépend plus quede la ligure formée par les points d'applica-tion; sa distance à un plan quelconque estégale à la somme de tous les points d'applica-tion divisée par leur nombre, ou à la moyennedistance de tons les points d'application au

f ilan. Dans ce cas, le centre des forces parai-êtes prend le nom de centre des moyennesdistances.

Pesanteur, et centres de gravité. — I.a pe-santeur ou gravité . celle des forces de lanature à laquelle nous sommes le plus assu-jettis, nous offre à chaque instant des appli-cations des considérations précédentes. Cetteforce, dont la nature nous est inconnue, semanifeste principalement en faisant descendreles corps vers la terre lorsqu'ils sont aban-donnés à eux-mêmes. Elle exerce son actionsur toutes les molécules des corps et se faitsentir également à chacune d’elles. Dans unmême heu, ou peut regarder les petites forcesqui sollicitent ces molécules comme paral-lèles et dans le même sens, et leur appliquerce qui a été dit plus haut.

Donc la résultante de toutes les forces paral-lèles de la pesanteur leur est aussi parallèle,c’est-à-dire verticale, et elle est égale à leursomme. La quantité de cette résultante est ceque l'on nomme le poids des corps, lequel estpar conséquent proportionnel au nombre desmolécules matérielles ou à la masse du corps.Enlin le point unique par lequel passe toujoursla direction du poids porte le nom de centrede gravité, que l’on appelle encore quelque-fois centre de masse, centre de figure , etmême centre des moyennes distances, à rai-son de sa propriété géométrique fondamentale.

Il résulte de la définition meme du centrede gravité que si ce point est fixe, le corps au-quel il appartient demeurera en équilibre danstoutes les positions.

Pour avoir égard à la pesanteur dans toutesles questions de mécanique, il sufiit de con-sidérer chaque corps comme réduit à soncentre de gravité, qu’on supposera sollicité parune force égale et parallèle à son poids. Il nes'agit donc que de savoir déterminer les cen-tres de gravité des divers corps ou assembla-ges de corps qui peuvent se présenter.

Cette détermination peut être opérée très-simplement pour une foule de corps de formerégulière, lorsqu'on les suppose homogènes,c’est-à-dire composés de molécules égalementréparties.

Ainsi le centre de gravité de l'aire d’untriangle est à la rencontre des trois droites quijoignent les sommets aux milieux des côtésopposés.

Pour trouver le centre de gravité d'un tra-pèze, prolongez vers la droite l'une des deuxbases d'une longueur égalé à l’autre, et celle-ci, vers la gauche, d'une longueur égale à lapremière, et tirez la ligne qui jouit les extré-mités de ces deux prolongements; elle cou-pera celle qui jouit les milieux des deux basesau point demandé.

Le centre de gravité d'une pyramide trian-gulaire est au point de rencontre des quatredroites qui joignent tes sommets aux centresde gravité des bases opposées.

Le centre de gravité d'une pyramide à basequelconque ou (Tun cône, est sur la droite me-née du sommet au centre de gravité de In base,au quart de celte ligne, à partir de la base.

La détermination des centres de gravitéd’un polygone ou d'un polyèdre quelconquese déduit de ce qui précède. Car un polygonepeut toujours être décomposé en triangles, ousi l'on veut, en triangles et en trapèzes; unpolyèdre peut aussi être décomposé en pyra-mides. Si l'on suppose appliquées aux centresde gravité des ligures partielles dans lesquellesse décomposent le polygone ou le trapèze, desforces parallèles et respectivement égales auxpoids de ces ligures, on trouvera le centre degravité du système absolument de la mêmemanière que l'on trouverait le centre des for-ces parallèles. On emploiera donc à cette re-cherche ou la composition successive des for-ces parallèles, ou le calcul des moments parrapport à deux axes Axes ou à trois plans Ûxcsqui se coupent.

L'analyse infinitésimale est nécessaire lors-qu'il s'agit de faire le calcul des moments pourdes lignes, des surfaces et des solides que l'onn’a pu décomposer préalablement eu parties,dont les rennes de gravité soient connus.

D’abord, dans te cas d'une ligne à doublecourbure déterminée par ses équations dansl'espace , si p désigne le poids spécifique dela ligne, c'est-à-dire le poids qu'aurait l’unitéde longueur, poids variable suivant une fonc-tion connue <les coordonnées , le poids total Pde i'arc s sera donné par la formule

el les coordonnées x', y\ z' du centre de gra-vité seront déterminées par les relations

px.ds ,

PV ■ ils

Les intégrales sont prises entre les limites quidéterminent les extrémités de l'arc.

P

Si la ligne esl homogène, on a— et lesformules précédentes sont simplifiées parceque l'on peut faire sortir de dessous le signe

la constante p.

Pour le centre de gravité d’une surrace hété-rogène, on aura de même

px. dS ,

py ■ rts

[.es limites des intégrations doivent être lesmêmes que pour la quadrature des surfacescourbes, et rfS désigne l'élément différentiel dela surface.

P

Dans le cas de l'homogénéité on a —

y

les formules sont simplifiées.