N E W T O N I

224

Appendix.

adeo ai?-gi? aequale eft ag?+2Agi, hoc eft aequale 2AGin -\ hG+ gi, feu aequale 2 agxfi, 8 c proinde 2 CAX-ax?, aequale eft^X?-2 AIx^X + 2AGxFI. Q. E. D.

Lem. II. Pojitis qua in fuperiore conJiruEHone , ejl 2EAX -aM

, FI 2FI

aquale — xyq -^ahx xy + 2AGx fi.

Notum eft enim quod pundtum y mota regulae ygcr fupei' lllSaflignato defcribit Elliplin cujus centrum eft l, 8 c axes duo cu* 11recftis le 8 c lii coincidunt, quorum qui in le aequatur 2 y?2GR, &c alter in lh aequatur iycr ftve 2gs. Et horum ratio 3invicem ea eft quae lineae hr ad lineam hl, ftve lineae bd ad E"neam be. Unde latus tranfverfum eft ad latus redum prin cl "pale ut be ad bc ftve ut fi ad fh. Quare cum y r ordinatim a P'plicetur ad hl, erit ex natura Ellipfeos gs?-lt? aequale pgEft autem lt aequale ae-ax, & T y aequale xy— ah. Scriba* 1tur horum quadrata pro lt q 8 c Tyq, Sc fiet gs?-ae?+2EA*^Axq — ^ in Xyq— 2 ah x xy+ ah?. Eft autem os?-AE? aeqU^quadrato ex gh + ls, propterea quod gs hypotenufa eft triang 11 * 1redtanguli cujus latera funt ipfis ae Se gh + ls aequalia. Eft ^(oh fi milia triangula rgh, rsl) ls ad gh ut lr ad hr, & cofl 1ponendo gh + ls ad gh ut hl ad hr, 8e duplicando rationes, ft liadratum ex gh + ls, eft ad gh? ut hl? ad hr?, hoc eft (per c ° nftruttionem) ut be? ad bd?, id eft ut be ad bc, feu fi ad

adeoque quadratum ex gh + ls aequale eft ^ gh?. Eft ' lta ^gs?— ae? aequale ^ gh?, atque adeo ^ gh? + 2EAX— ax?^ 0in Xy?-2AHx xy+ ah?- Auferatur utrinque ^ gh?, & reftft'^

2EAX-AX?- in xy?-2AHxxy + AH?-GH?. Eft autem AfI 'ag + gh, adeoque ah? - AG?+ 2AGH+ GH? 8e fubducfto utrin^GH? reftat ah?-gh? = ag?+ 2AGii, hoc eft - 2AG in 2 a g +feu - 2 ag x fh, atque adeo eft 2eax-ax?= ^ in xyq— 2 ah *

FI 2FI T ,

2 AG X FH, 1. e. = |^Xy?-|y AHxXy+2AGxFI. Q. E. u.

Lem. III. Iifdem pojitis ejl ax ad xy-AG ut xy ad 2BC.Nam fi de aequalibus in Lemmate fecundo fubducantur aeft 11

HI

in Lemmate primo , reftabunt aequalia 2cexAX 8e ^ xyq - FH