Sunt

PRIMARUM ET ULTIMARUM. 241

Partium femper erunt ut fummae parallelogrammorum; atque Phimis Ul.lc k°j ubi partium 8t parallelogrammorum numerus augetur 8c ' m^SQiTE •Magnitudo diminuitur in infinitum, iu ultima ratione parallelo-S r ammi ad parallelogrammum, id eft. (per hypothefin) in ultimar atione partis ad partem ( c ).

LEMMA V.

Similium figurarum latera omnia , quae fibi mutuo refpondent ,proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea ; & area funtUl ^plicata ratione laterum.

’ et Rs > a< ^ < l tlarn 05 rationem habeat quam fg ad gh ; et st, ad quam as rationem ha-^am gh ad hb. Redam ot ad perpendiculum infiftat oa datas cujuilibet longitudinis, ethir i*® U i Um °«/r compleatur ; cujus cum lateribus parallelae ducantur r b, q £, xd, se. Expona-‘a reda vi redae ot aequalis, in qua capiantur partes, vx, xy,yz, zr, TA, partibus op, pq^,ac j ’ Rs -> st, ordine aequales. Redam vi ad punda v, x,y, z, r, A, redae v», *g,yb, z k, r/, A??/,

£? er pendiculum iufiftant.

0 . a P la ntur xg,yb, zk, r/, A m, ad quas oa rationes habeat quas ae ad ck, ef ad kl, fg ad lm,

Ae j MN ’ he ND ’ et tedangula vg, xb, yk, z/, Tm compleantur. Jam cum op fit ad pqjitJgjj EF > componendo erit oqj PQ^rr af : fe. Sed pqj. qr = ef : fg. Id enim fadum eft.bitn 6X K< l uo °QJ 05 — af : fg, et componendo, or : qr =: ag : gf. Sed, qr : rs ~ fg : gh.

%>tiir CX or : rs - ag : gh, et componendo os: sr = ah : hg. Sed rs : st — gh : hb.

teft CX ac l uo os : st — ah : hb, et componendo ot : ts — ae : bh. Atque hinc colligitur

° T effe ad partes fuas, op, pq^, qr, Rs, st, ficut quantitas ae ad partes fuas, ae, ef, fg,

r £( c^ Sb ’ ordine fumendas. Et cum parallelogramma ejufdem altitudinis fmt inter fe ut bafes,p ar( . a£1 ^ u ' a °b, pc, Qd, r c, s f erunt inter fe et ad redangulum totum q/j ut ae, ef, fg, gh, hb,o<5 ■ ftoantitatis ab, inter fe et ad totam. Atqui propter redas vx, op sequales, redangula vg,igj’ t Unt inter fe ut reda; xg, p b ; et xg, pb, funt ut ck, ae ; ira enim fadse funt. RedangulumUt lr v <? ad o b ut ck ad ae. Et ex modo oftenfis, o b : o f-zz ae : ab. Quare ex sequo erit vg, afad AB " ®~ ur * um propter aquales xy, Y(f, erit redangulum yo ad qb ut yb ad p b, id eft ut°ft f' EF ‘ Et ex modo oftenfis, qb : of =z ef : ab. Quare ex aiquo, yo : o/= kl : ab. Sed jamoft xn effe ad p a ut ck ad ae. Ergo duo redangula yo, x« fimul fumpta erunt ad red-qj r l,ni o/j nt ck, kl fimul fumptse ad ab (per 24. 5. Elein.) Rurfum propter arquales yz,jjq^^^ngulum zp rc zr zk. : Qc = i.m : fg. Et ex modo oftenfis, sc ; of — fg : ab. Quare exLj; Zj6 : °.f — lm : ab. Tria igitur redangula fimul fumpta zp,yo, x« erunt ad of ut tres ml,tat| 0[ GK fijnul fumptse, hoc eft ut cl ad ab (per 24. 5. Elem.) Atque eandem eundo argumen-a d te n S Vlam ed tandem pervenietur, effe omnia redangula Ar, Tq, zp, yo, xs fimul fumptaritit r j!^8ulum o/ficut quantitas cd ad quantitatem A,B, Atque htec ita erunt quoicunque fue-tan gula illa, et quantacunque fuerit cujufque magnitudo,.' Quare et figura A v®m, cui^finit^ 1 - ° rUm imorum omnium fumma, numero eorum infinite audo, magnitudinibus-fingulorumSit ,e 1Ulrn rnntis, ultimo fit axpialis, luec etiam erit ad redangulum o/ficut cd ad ab.tati s J3rri rat ^° lH a data, qute ultima eft evanefcentium partium quantitatis ab ad partes quanti-j ai ^ D Afflui evanefcentes, ea quam reda s habet ad redam t.tiiti» c j g partium quantitatum, ab, cd, infinite crefcente, magnitudinibus fingularum infi-

r>it^ ^^ofcentibus, redangulorum ob, pr, qd, rc, s/necnon vg-, xb, yk, z/, T:n numerum infi-fttatiz •r' ltCr a "Mri, magnitudines fingularum infinitepariter diminui, exconltrudione et e denion-c ii tri tls patet. Cum vero reda oa femper fit ad redam xg ut ae ad ck (id enim pofuimus) eterit r e ii ^ at ultimo ad ck, ut s ad t, erit oa ad xg ultimo ut s ad t. Sed ut oa ad xg ita femperUt s an gulum ob ad redangulum vg, propter op, vx femper aequales. Ergp ob ad vg ultimoI Ue t i c j a Duilli ratione redangula reliqua p c, qd, ne, sf ad reliqua xb,yk, z/, Tm, ordine fu-

Uia). V lent ultimo ut s ad t. Ergo ut s ad t ita erit redangulum q/ad figuram ®vAm (per Lem-a d Ed ex fupra oftenfis redangulum of ad figuram ®vAm ut ab ad cd. Habet igitur abra tionetn eam quam s ad t ; hoc eft, datam illam, qua: partium evanefcentium ultimo fitv lUs - Q^E. D.

V °L. I. Ii LEMMA

c om