D E

N A L Y S I

258

Caput Se-cundum.

CAPUT SECUNDUM.Compofitarum Curvarum Quadratura ex Simplicibus .

REGULA II.

Si valor ipjius y ex pluribus ijiiufmodi Penninis componitur, Aftdetiam componetur ex Areis , qu<z a Jingulis Per minis emanant. ( a )

Exempte

Regulje

¥rimjb,

( a ) Duabus hifce regulis, quae ex Problemate Secundo Quadratur® Curvarum facile funt dedi 1 'cend®, omnis fere Arithmetica Infinitorum Wallifii fummatim comprehenfa eft. Ac Primamdem Wallifius ipfe allegavit; Arithmet. inf. prop. 64 & 102; Secundarii vero, fi minus verbis*faltem exemplis patefecit. Demonftrationem prioris fyntheticam, fimplicitate et elegantia pl aneadmirabilem, haud ingratum certe Geometris fecero, fi e Fermatio apponam.

“ Unico, quod notiffimum eft, Proportionis Geometricas attributo tota h®c paetbodus 11144 nititur.

“ Theorema hoc eft. Data quavis proportione geometrica , cujus termhii decrefeant in infiniti'“ ejl ut differentia terminorum progreffionem conjiituentium ad minorem tertninum, ita maximus progreff 04 ‘ nis terminus ad reliquos omnes in infinitum Jumptos.

“ Hoc pofito, proponantur primo hyveebol^ quadranda:. Exponatur fi placet hyperbola, c"'“ jus ea fit proprietas, ut fit femper ut quadratum reft® ha ad quadratum redt® ag ita redta g£“ ad redtam hi; et ut quadratum oa ad quadratum ah ita redta hi ad redtam on. Aio fpatiu"j“ infinitum, cujus bafis ge, & curva es cx uno latere, ex alio vero afymptotos infinita gor, ®qi ,ar *“ fpatio redlilineo dato. Fingantur termini progressionis Geometricae in infinitum extendenda“ quorum primus fit ag, fecundus ah, tertius ao, in infinitum : et ad fe per approximationeM“ tantum accedant, quantum fatis fit, ut juxta methodum Archimedeam parallelogrammi"^“ redtilineum ge x gh, quadri!ineo mixto ghie adaquetur. Item ut priora ex intervalla“ redtis proportionalium, gh, ho, oh, & fimilia, fint fere inter fe aqualia; ut commode P ef“ uirayvyb iU per circumfcriptiones et inferiptiones, Archimedea demonftrandi ratio M"

“ ftitui potlit : quod femel monuifle fufficiat.

“ His pofitis, cum fit ag:ah=ah:ao = ao:am, erit pariter ut ag ad ah ita intervallo " 144 gh ad no, et ita intervallum ho ad om, &c. Parallelogrammum autem eg X gh erit ad par a '“ lelogrammum hi x ho, ut parallelogrammum hi x ho ad parallelogrammum no x om. Cui"“ enim ratio parallelogrammi ge x gh ad hi x ho componatur ex ratione redi® ge ad redty"“ hi, et ex ratione redt® gh ad ho ; fit autem’ gh : ho^ag : ah, ut prjemonuimus : ergo, rati"“ parallelogrammi ge x gh ad parallelogrammum hi x ho componitur ex ratione ge ad Hi-d (j£“ ratione ag ad ah. Sed ge:hi— ah :ag' (ex hyp.) et ah^ag^aoiag, propter proporti°'44 nales. Ergo ratio parallelogrammi gexgh ad hi x ho componitur ex ratione ao ad ag et44 ag ad ah. Sed ratio ao ad aii componittur ex illis duabus. Ergo parallelogrammum ge X GlJ44 ad parallelogrammum hi x ho ut ao ad aii, iive ut aii ad ag. Similiter probabitur parallel 0 '44 grammam hi x ho esse ad parallelogrammum noXom ut am ad ao, hoc eft ut ah ad a g '“ Ergo parallelogramma eg x gh, hi x ho, no x om, &c in infinitum iumpta erunt continue p r °44 portionalia, in ratione redt® ha ad ga. Eft igitur, ex theoremate hujus methodi confiit' 1114 ’ 0 *“ ut gh, differentia terminorum, ad minorem terminum ga, i a primum parallelograrnm u ^j44 EG X on ad reliqua in infinitum parallelogramma; hoc eft, ex adiequati ne Archimedea,

figuram fub hi afymptoto hr, et curva ind, in infinitum extendenda, cpn entam. Sed ut "

44 ad ga ita, fumpta communi latitudine redta ge, parallelogrammum G^ x gii ad paralss 044 grammum ge x ga. Ergo parallelogrammum gexga, quod eft fpatium reo iiineum datur**»44 adaquatur figur® pradidt®. Cui fi addas parallelogrammum gexgh, quod propter r ‘ )ltlU ^44 tiffimos Tt^a^iv/xa; evanefeit, et abit in nihilum, fiipereft verifiimuin ei Archimedea licet p r °44 lixiore demonftratione facillimi- firmandum, parallelogrammum ah, in hac hyperfcol* ipec ie >44 ®quari figur® fub bafe ge, afymptoto gh, curva ed, in infinitum producenda, conif r - t£E '44 Nec operofum ad omnes omnino hujulinodi hyperbolas, uini dempta, inventionem extendere-^