PER AQUATIONES INFINITAS. 261

5. Sin aliqua pars cadat infra (quod fit Quadratu

dum

volo..

ad

j£cum Curva decufTat fuam Balin inter b et ot,ut hic vides- in F,) ifta parte a parte fupcri-ori fubdudtA, habebis valorem Differentiae :( b )Earum vero Summam fi cupis, quaere utram-rque Superficiem feorfim, et adde. Quod idemin reliquis hujus Regulae exemplis notan-

Exempla

RA CoMPO-SITARUM.

“ Ae e5 T°nent.em poteftatis applicata:. Ut in hoc exemplo videre eft, in quo poteflas applicatae Qemon-“ j e c ubus, cujus exponens 3; poteftas autem diametri e ii quadratum, cujus exponens 2. stratio ■*' hoc° < f e ^ >et Eits bd ad aicb, ut jam demonftravimus, & perpetuo conflabit, ut fumma 3 & 2, Fer mati-te j e “ 5 , Rd 3, exponentem applicatae. ana.

<$ cur] 11 kyP er b°lis autem Canon non minori facilitate invenietur univerfalis. Erit enim in qua-“ ii GE ^ Ue ^yp ei 'bola, parallelogrammum bg (vid.fig. p. 259.) ad figuram in infinitum protenfam,

D ’ llt difterentia poteftatum applicatae & diametri ad exponentem potefiatis applicat®.”'

P e Ver bis hic dicit Fermatius quae Newtonus, Regula fua Prima, fymbolis. . .

t er ,j? terum Theorema, ex quo deduftae funt Fermatii demonflrationes, ad hunc ferb modum of-S Q1 Poteft.

AE > cd, ef, gh, kl, magnitudines quarum fit continua, fecundum datam duarum rs,rt ra-tionem, proportionis convenientia. Si earum numerus infiniteaugeatur, dico maxima; ab ad reliquas omnes fimul fumptasproportionem ultimam eam e fle quam st habet ad tr. Mag-nitudini enim ab auferatur am magnitudini cd aequalis.- EtF huic cd auferatur cn magnitudini ef aequalis. Et huic ef

jp auferatur eo magnitudini gh aequalis. Et huic gh auferatur

gp magnitudini kl aequalis. Tum fumatur mv — dn. yx — fo.

.vyrrup. Jam cum ab fit ad cd, vel am, ut sr ad st, dividendoerit bm ad cd ut st ad tr. Simili ratione erit dn fine mvE 6 K acl EF ut ST a d tr. Necnon fo, five vv ad gh, et hf, five* xy, ad kl, ut st ad tr. Erunt igitur omnes bm, mv, ver, xy,

M

V

ce-

cn

D

H'

0

mi >l f u .flnotc-

it ni,- five b ad omnes cd, ef, gh, kl, fimul fumptas ut st ad tr. (per 12. 5, Elem.)

, t]f nia S n itndo sy ipfi ba fit ultimo requalis ; & rationes magnitudinis ab adfummam omniumi KL ’ ^^ul fumptas, & alterius 19- ad eandem fummam fiunt ultimo aequales. (New-at - prim. & ult. 1.) Sed' xy ad fummam illam rationem eam quam st ad TRfemper

^tirhl CX f ll P n '* oflenfis. Eadem igitur ratio s r ad tr magnitudinis ab ad omnes cd, ef, gh, kl

yeni eilte llnc l ue fuerint magnitudines illae ab, cd, ef, gh, kl proportione inter fe continue con-3 or er - t es ’ ratio liimmse differentiarum b y ad fummam omnium a maxima manet. Quare ma-Sed eo A . E quam ut habeat ad omnium reliquarum fummam rationem eam quam st ad tr.

ut m 111 ^ 3 <piidem major quo minor fuerit Ay. Et a y ultimae reliquarum kl femper eft aequo-,'tiiuUgtu' ^onflru6iioue latis patet. Et numero omnium infinite crefcente, ultima illarum infiniteQ>)are r ’ ^ m ' nor uct ultimo quavis data. Quare magnitudo Ay minor fit ultimo quavis data.C>, ’

! 0ri ife i° H '

Qc E. D.

1 Curva cde cujus abfcifia ab, x, ordinatim applicata bc,^. Naturam vero curvae haecaequatio definiat ,x ~ 2 — x~'*~y.. Talis,quidem . curva baftn.AB»fccabit. Secet in d . Dico quantitatem 2x~^ — x r ‘, qua: ex cal-culo fecundum regulam Newtonianam-perado-pro area provenerit,arearum cdb, «de differentiam e ile. Per d ducatur df cum-ordi- :natis (bc) curvae cde parallela. Et capiatur df rz 1 —ad.. In bc,ordinata quavis curvae cde, capiatur bg~ x~ z . Et per gf feri-a u- curva gfh quampundum g perpetuo tangit; five cujus ea fitcC natura, ut x ' 2 — z, delignante x abfciflam ab, « ordinatam bg, .fam per regulam primam — x 1 ~ areae hgb«. Sed cum gb ex* , .

bc ~ x

— 3 .■X *

_3

erit g c — x T .

Et — —

areae hfgcecurvis