317

EPISTOLIS.

8. Efto vde Quadratrix, cujus vertex eft v, exiftente A.centroAscus et^ ae femi-diametro circuli ad quem aptatur, 8c angulo vae redto ; Akea '

demiftoque

^ilton, Conic. Lib. i. Prop. xlvii.) Quare ea femiflis eft redas ep, et ea ad ep ut ed ad ef.Cum Area® Vero cum ed iit ad ea, ut gh ad'Ev (propter parabolam) et ea ad ep ut ed ad Ep, erit ex IIyperb,*^ Uo E u ad ep ut gh ad ef, vel gm : et quadratum ex ed ad quadratum ex ep ut quadratum exa< I quadratum ex gm. Invertendo et componendo, quadrata ex ep et ex ed fimul iumptaquadratum ex ed, ut quadrata ex gm et ex gh ftmul sumpta ad quadratum ex gii. At vero* duratis ex ep et ex ed fimul fumptis quadratum ex dp eft aquale (propter angulum ad e tri-guh ped redum). Et quadratis ex gm et ex gh fimul fumptis quadratum ex me eft aequale'Ptopter hyperbolam sequilateram.) (Hamilton. Conic. Lib. i. Prop. xxxii.) Quare quadratumr cT er ’ t ac * quadratum ex de, ut quadratum ex ml ad quadratum ex gh : quare et reda dp adc atn de ut reda ml ad redam gh. Sed ut reda dp ad redam de ita eft fluxio arcus ad ad^Uxionem redae de. (Introdud. Quadrat. Curv. § 4.) Et oftenfum eft, fluxionem red&efle ad fluxionem redae gm ut reda ml ad redam gh. Erit igitur fluxio arcus ad r.dx )°uem redae ed ut fluxio redae gb ad fluxionem redae gm. Permutando, fluxio arcus ad adXionem redae gb ut fluxio redae ed ad fluxionem redae gm. Redae autem ed ad redam gm10 data eft, illa utique quam unitas ad binarium habet, (ex conftrud.) Fluxionis igitur arcusfit ^ ^ llx ‘ 0Iiem tedae gb eadem data ratio, unitatis ad binarium, erit. Et cum haec confrarts- fluxionum ratio, fluentium etiam, curvae ad redxquae gb, cum fimul illae a nihilo generariln ? e perint, eadem inter ipfas ratio erit. (Geom. Flux, Prop. iv.) Arcus igitur ad redae gb fe-i et arcus daJ redae gb aequalis erit. Q^ E. D.

. l0 - Ex liifce ftatim enafcitur problematis, de longitudine Arcus Parabolici invenienda, .compo-10 degantiflima Cotefii. Ea vero eft haec.

MENSURA ARCUS PARAEOLICI COTESIANA..

Inveniatur umbilicus parabola </ad qui fit x. A pundo a ducatur in ordinatam ed, reda at,

U® ordinatam illam mediam dividat. Et redae ay addatur yz, qu® aequalis fit ejus rationis.*

P r ° modulo, ax, logarithmo, quam trianguli ave latera duo ay, ae, fimul fumpta, ad tertium eyCanent. Reda az arcui ad aqualis erit. (Harmon. Menfurar. Pars 1. Scholion. Generale.)

u jus demonftrationem, quam nullam, quidem ipfe Cotefius attulit, . Theorema noftrum faciUi-Itla m fuppeditat.

g. Jnngantur enim gl, am. Ad redam gh applicetur redangulum-HV ■ triangulo gml aquale.ltlt gr, Gr hyperbola kal afymptotas j per punda a, l ducantur reda ar, Lqjmmfemi--a * e fecundo gh parallela ; afymptotarum alteri, in pundis r, Qjpccurrentes. Harum illa ar^ yperbolam in A continget; hac lq_, in alio ei pundo prater L occurret. Sit occurfus illej. er K. Eadem vero LQ^axi tranfverfo ga in s occurrat. Reda denique ag in pundo a me-Ia At divifa. Itaque cum dp fit ad de ut ml ad gh .(id enim in demonftrando theoremate noviffi-o °ftendimus,) redangula gh x dp, de x ml erunt inter fe aqualia. Redangulum vero de x m.l .tr ! an gUlo gml eft aquale, cum utrumque dimidium fit redanguli gl. Redangulum igitur gh x dp^ lan gulo gml eft aquale. Sed eidem triangulo redangulum hv eft aquale. (Ita fadum enim,) 1. ^daugola igitur gh xdp, et hv, five gh x gv, funt inter fe aqualia. Reda igitur dp, gver ie aquales. Cum vero reda ep, .ed in pundis, a, y, similiter fint divifa, media namquer um utraque dividitur, reda ay, pd parallela erunt, et triangula epd, eay inter fe fimilia.

VQare AY erit ad pd ut ea ad ep ; hoc eft, ay femiffi reda pd, ac propterea lemiffi reda gv,

*Piali s erit.

r cum redangulum go spatio hyperbolico agml fit aquale- (ita enim fadum eft) et

an gulum hv triangulo gml (nam id quoque fadum) erit redangulum vo aquale fedori hy-rbolico agl ; hoc eft, logarithmo rationis reda ar ad LQ_pr° modulo | gh 2 , five. gh x g a. Ha-111 vero trium KQj ar, lcl continua eft proportionum fimilitudo. (Hamilton. Conic. Lib. i.Prop.j Q v * *•) Rationis igitur illius quam kq. habet ad as, idem erit, atque ejus quam ar habet ad lcl_,

^ganthmus. Redangulum igitur vo logarithmus eft rationis quam kq^ habet ad ar pro modulotpJ* 00 ’ I^cda vero ar femiaxi fecundo gh eft aqualis. (Hamilton. Lib. 1. Prop. xxxvtu.)tr ia a ^' e K ^duabus ml, mg fimul fumptis eft aqualis. Nam, propter hyperbolam aquilateram,

J1 gulum redangulum qsg eftifofceles; illi utique rag fimile. Sunt igitur qs, s g, ac proinde

qs,