CURVARUM.

353

Proribus inaequales, rejiciendus eft etiam eorum unus ; 8c lic in Prop* v.a ^iis omnibus aequalibus, fi adhuc plures lint : deinde divifor^1 relinquitur, vel contentum fub diviforibus omnibus qui re-linquuntur,

&

n &ulatiin metiantur. Dico / eandem metiri. Metiatur quantitatem a et faciat a. Fracta-

^ Jam $ metietur a, ici enim ut prius oftendetur. Sed pari ratione y ? eandem a RUM Rati»

metietur. Quare facftum etiam $ x metietur eandem a, per cafum prio- 0N aleum.

rem. Sed 0* x : a ~ <*” x $ x y* : a”a. Quare «”x^Xy ? metietur «"a; hoc eftipfam a metietur.

a

Et fimili argumentatione, quotcnnque politae fuerint quantitates primae, veritatemaffumpti ufque probabimus. Q^ E. D.

Ps-opositione noftra fic tandem ex omni parte firmata, illius ope, veritas ejus, quod a New-^in' lrn manifefta fiet : Curvam utique, cujus ordinatafit frafta rationalis, ii fradf® illiusfexpolita;, denominator in diviforibus fui primis ullum habeat, cui alius non inveniatur se-4l ls > e am curvam non poffe quadrari : non pofle utique definita quadratura, per aiquationem'

Uji®. ■ ra >cam, nominibus finitam, exponendft. Nam per feries quidem infinitas nihil obftat, quoUs talis etiam curvae area, propius faltem quam pro differentia data, aeftimari poffit»

enim quantitas fra£ta rationalis-, his r, s minimis expolita : fignificantibus utique lite-tis x, , . 8 .

' s > multinomia Algebraica rationalia, ex poteftatibus fimplicis alicujus quantitatis z com»pofita. Denominator autem s in diviforibus fui primis habeat aliquem «, cuiId alius non inveniatur aqualis. Sit curva abc, cujus abfciffa ab per literani

z fignificata, ordinata ec quantitati — femper fit aqualis. Dico hanc cur»

s

vam, aliter ac per feriem infinitam non poffe quadrari. Quadretur enim, etg” area ejus dicatur a- Jam cum area fit curva, cujus ordinata eft —, ab-

f ' ®

• u

e rit fluxio areas coaequalis huic — z. Hoc eft fi ponatur z — i, erit (O— — Quantitas

'Litur s

b eat ^aut fradfa rationalis erit, aut feries infinita, fiquidem fluxionem fra&am rationalem ha-

fluxio rationalis a fluente irrationali, ab una fluente limplici fada, haud venerit; ne-ra< ^ a a non fratta rationali; nili forte ex ferie infinita. Sit igitur < 0 , modo effe poffit, quan-

fr afta rationalis. Quantitatis igitur fraftae rationalis o,, hujus eft illa-H-, fra&a rationalis,

^xio. p . . . .

Pri ml >cu JU s tamen, minimis quidem illis, u, s, expolit», denominator s, cum in diviforibus fui'lUe lla ^ ea t quendam «, cui alius non inveniatur aequalis, certe neque quadratus ille erit, ne-poteftatibus cubicis, vel ultra-cubicis aliifque quadraticis totus quidem compofitus. Hoee rit a ofurdum eft : pugnat enim cum propolitione modo oftenfa. Non igitur frafta rationalis*'«H p atu has illa Reftat ut feries infinita fit q» Curva igitur acb, nili per feriem infinitam,mel1 quadrari. Q^E.D.

5> c

" t eru m . fluxiones fraftas quafdam rationales ex feriebus infinitis nonminquam'emanare,Cl ^ CLU ' dem affum pfi‘ mjs : blud et poffe fieri, et revera folere, fatis ut opinor intelligatur vel

ex eiupl 0j _f;— ? qu» ex hac ferie infinita, z— l z* z 1 — + —, emanarit. Hujus

«Uimt.. I+ ~

nuxio erit, z — zz + — z 3 « + z 4 z —, “ -- • Hanc autem aequationem vere po

’> fi ‘ 1

i + z

'W;,"- non fatis notum fit, ex eo intelligatur, qued feriem ~ — ai-f:

+ — J

r b iotr de

** 0 his on U,rn 1 + z multiplicando, illa z effefta fuerit; nominibus aliis omnibus ipia multiplica-cra deletis, ut videre eft :

z — z