3§2

Prop, VIII.

DE QUADRATURAPROP. VIII. TUEOR. VI.

Si pro e+/%*+£%**+ &c. et k+l% r ' + mz iy> + &c. fcribanturut fupra, 8c in Curvae alicujus Ordinata .z d± ’ ,cr r’' ±t s? ±v maneant

quanti'

Progreffionis autem illius, quae, ab illa B,incipiens, infiniti defcendit, hujus quidem ares om neSinfinits erunt. Primum eniin efle a infinitam jam oftendimus. Defignet autem 2 curvam p r °'greffionis defcendentis ab illa a, proxime inferiorem, fi ve eam, cujus Ordinata eft z^ - ’’ 1 BArea a, ope tertiae sqqationis. fecunds claffis, invenienda eft ; scribendo, — « pro 9 , ftproA,.AP rQ

I, b pro c ; nempe hoc modo, a —

Z — n f \— 2^1-

Ubi numerator quanti’

tati»

i eri [ ‘

fraftre, propter membrum, — h’/a, infinitum, cum reliqua finita.fint, totus quidem infinitus 1Unde, cum denominator fit finitus, quantitas ipfa fratta infinita erit. Ergo area 3 inftn 1 ^Simili modo, fi b defignat aream progreffionis defcendentis ab illa 3 proximib inferiorem, oft^ adetur b infinita. Eodemque ufque. modo progredi licebit. Omnes igitur hujus progre» 10 ‘ares poft primam b infinits erunt.

z. Sed deficiat 9 + 2*„. Hoc eft, fit 9 + 2*n — o, exiftente nimirum 9 rz —2X«. .

Nihilominus, fi detur a, dabitur e, per squationem fecunds claffis fecundam ; qus, P 01

jtiefi

9 -J- z\r, — o, in hanc; migraverit 3 ~

2S iA>l R* + 2XvtfA

— Ar ,f

Vel fi detur b, dabitur a per squati° n

— 2X>1 „X

r* + x*/b g dii'

fecunds claffis tertiam ; qus, pofito 9 + 2X*iz:o, in hanc migraverit t a~

abus autem e, a datis» dabitur H, qus, in progreffione defcendente, ab illa a proxime eft infe 1 ' 0 ^e duabus A, ft, dabitur rurfum proxime inferior b; e duabus 3 -, b dabitur c, eodemque ufque w"progredi licebit. Omnes enim a, b, c, d ope tertis squationis fecunds claffis invenienda: 1 ^pro 9 , illis — 2An — n, — 2*»—2«, — 2?-i — zi, peo A, illis a, bj c, d, et pro b, illis a, a» D ’pro c illis b, A, a, b ordine fubftitutis. j D )P

In hoc igitur cafu dabuntur ares omnes progreffionis ejus, qus, ab illa b initio fumpto, ^nitL defcendit. Ipfa autem c, cujus, in squationibus Canonicis, coefficientem nihilo sq 113 ^pofuimus, illa quidem infinita erit. Id quod squatio prima fecunds claffis fatis indicat; fi

r « . , . . S 2X>I R + 2\),CA + B

ponto 0 4-2X4! rr o, in hanc migraverit, c ~ -—.

O £ \fl

Ac propterea progreffionis. ejus j qus ab illa b incipiens, infinite ascendit; hujus quidem, 11 -cafu, ares omnes infinits erunt. Id enim eadem plane argumentandi ratione ex sq uS gSfprima efficietur, qua in priore cafu cx, tertia efficiebatur, contraris progreffionis areas oh 1poft primam b, infinitas efle.

4. Denique deficiat 9 + Xt!. Hoc eft, fit 9 + Xb = o, exiftente utique 9 2= — x„. Jam fidabitur quidem c per squationem fecunds claffis primam; qus, pofito 9 -pxi —o, 10

migraverit: c —

R -f XtiCA

\r,g

Vel fi detur c, dabitur a per squationem fecundae

cl^ 5

tertiam; qus, pofito 9 -f Xn — o, in hanc migraverit: a ~

— \r,e

Ipfa vero B>

c«J

liU 5 '

li

in squationibus Canonicis, coefficientem nihilo squalem pofuimus, illa quidem infinita t •

quod squatio fecunda claffis fecunds fatis indicat; qus, pofito 0 + Xby *g c

hanc mig ra '

b —

Z -1 '" R X + X fl( . A .

O * ^

Utriufque autem progreffionis, tam illius qus ab ill:l b incipiens infiniti afcendit, ^ ua | n fjjiit|Jqus ab illa a infinite defcendit, ares quidem omnes, illis, a, c exceptis, in hoc calu ^ tef ri»erunt. Defcendentis eniin progeffionis infinitas efle areas omnes-poft a, id.quidem■ * 0l fu saqua:ions fecunds claffis efficietur, Afcendenjis omnes poft b, id vero ex prima; fi 1111argumentandi ratione, qua in primo cafu Defcendentis, in fecundo Ascendentis P r °§ p l flomnes, poft. primam utriufque, infinits efficiebantur.