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Analytische Spiiärik.

§• 7 .

Zusätze, a. Pie Verhältnisse zwischen den drei Zahlen haben nur aui'Eine Weise bestimmbare Werthe. Denn könnten sich die Zahlen, ausser wiea:b:p, auch wie a':b' :p verhalten, so müsste nächst (2) noch a’ cos VA +b' cos VB = p cos VP, mithin ( a — a') cos VA + ( b — b') cos VB = 0sein, woraus, da nicht a' = a und b’ = b sein soll, der liier ausgeschlosseneFall folgen würde, dass B mit A identisch, oder der Gegenpunkt von A wäre

(§■ >>)■

b. Die nur auf Eine Weise bestimmbaren Verhältnisse zwischen a, b,psind den Verhältnissen zwischen den Seiten eines Dreiecks FGH gleich, des-sen Winkel von den zwischen A, B, P begriffenen Bögen gemessen werden,und es müssen daher alle die aus der Trigonometrie bekannten Relationenzwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks auch zwischen den Zahlena, b, p und den von den Punkten A, B, P begrenzten Bögen stattlinden.

Zu diesen Relationen kann man auch geradezu mittelst der Gleichung(2) durch passende Annahme des unbestimmten Punktes V gelangen. Umdieses nur an zwei Beispielen zu zeigen, so kommt, wenn man V successivemit A, B, P zusammenfallen lässt:

(i -j- b cos AB — p cos A P,a cos AB + b — p eos BP,a cos AP b cos B P = p;

und wenn man diese drei Gleichungen resp. mit a, b, p multiplicirt und siehierauf addirt:

a a + /;/; + 2 a b cos A B = pp,

die bekannte Relation zwischen den drei Seiten und einem Winkel einesDreiecks.

Man nehme ferner den Punkt V im Hauptkreise ABP also liegend an,dass nach zuvor festgesetzter positiver Richtung dieses Kreises der Bogen VB,d. i. der von dem zuerst geschriebenen Punkte V nach dieser Richtung bis zumzweiten B fortgezählte Bogen, = 90° ist. Dadurch wird, wie auch A und Pgegen B liegen mögen, VA = VB — AB — 90° — AB, VP = VB —PB — 90° — PB, und die Gleichung ($) reducirt sich auf u sin AB =p sin PB*). Aehnlicher Weise findet sich, wenn man Uso bestimmt, dassVA - 90° wird: b sin AB — p sin AP\ mithin verhalten sich

n : b : p = sin P B : sin A P : sin A B,d. i. die Seiten eines Dreiecks wie die Sinus der gegenüberstehenden Winkel.

*) Nicht ganz überflüssig dürfte liier noch die Erinnerung sein, dass in diesen undandern Formeln, in denen Sinus von liögen Vorkommen, stets die Slellun" der zweiBuchstaben mit berücksichtigt werden muss, durch welche der Bogen aus^edrlickt wirdDenn da alle in demselben Hauptkreise liegende Bögen nach einerlei BiehUin" zu rechneu sind, so hat man Alt -|- iia — 3G0 o , folglich sin HA = „ s in M? wahrendcos DA = cos A II ist. ‘