von A. F. Möbius.

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e. Das letzterhaltene Resultat wird noch symmetrischer, w enn man C und— c statt P und p , und daher

(i cos VA -J- b cos F // + c cos V C = 0statt (2) schreibt. Denn hierbei müssen sich verhalten

a : b : c = sin 77 C: sin CA : sin A 77.

Die Substitution dieser Verhällnisswerthc von a, b, c in der vorhergehen-den Gleichung giebt den bekannten Satz, dass, wenn A, /7, C drei Punkte ei-nes Hauptkreises sind, lur jeden vierten Punkt V der Kugellläche

sin HC cos VA -f- sin CA cos F77 + sin A 77 cos VC = 0 ist.

S- 8.

Porisma. Zu vier Punkten A , 77, C, Q dci' Kugelfläche, von denenkeine drei in einem Hauptkreise liegen, lassen sich immer vier in solchen,nur auf Eine Weise bestimmbaren Verhältnissen stehende Zahlen n, b,p, q finden, dass für jeden Ort eines fünften Punktes V der Fläche

(3) a cos VA + b cos VB + c cos VC = q cos VQ ist.

Beweis. Sei P einer der beiden Durchschnitte der Hauptkreise .177 undCQ, so liegen A, 77 , P in einem Hauptkreise, und man kann daher (§. 6 .)drei in solchen Verhältnissen zu einander stehende Zahlen a, b, p finden, dass(a) a cos VA -j- b cos VB = p cos VP ist. Da ferner auch P, C, Q in ei-nem Ilauptkreise liegen, so lassen sich aus demselben Grunde zwei zu p insolchen Verhältnissen stehende Zahlen c, q finden, dass (b) p cos VP +c, COS VC — q cos VQ ist. Mithin muss auch die Gleichung (3), als die Summevon (n) und (b), bestehen.

Gäbe es aber noch drei andere Verhältnisse a’: b ': c': q, welche gleich-falls der Gleichung (3) Genüge tliäten, wäre also nächst (3) noch

a' cos VA + // cok VB + c' cos VC = q cos VQ,so müsste sein:

(a — a') cos VA (b — b'J cos VB + (<■’ — c ') cos VC=0,

und es müssten hiernach A, 77, C in einem Hauptkreisc liegen (§. h-, c), wasgegen die Voraussetzung ist.

S- 9-

Zusätze, a. Sind demnach drei nicht in einem Hauptkreisc liegendePunkte A, 77, C der Kugelfläche gegeben, so ist durch sic und durch die Ver-hältnisse zwischen gewissen ihnen beizulegenden Cocfficienten jeder viertePunkt Q der Fläche bestimmbar. Liegt dabei Q mit zweien der drei PunkteA, B, C in einem Hauptkreise, so ist er schon durch diese zwei allein be-stimmbar, und der Coeflicient des dritten Punktes ist null. Fällt aber Q mit