642 Anmerkungen zu Diophantus

werden kann, ist nach dem Gesagten leicht begreiflich.Ihr wichtigster Nutzen aber zeigt sich bei Darstellungdes nach seinem Erfinder genannten Taylorischeu Theo-rems. Dies enthält nämlich nichts anders, als dievollendete Annäherung einer arithmetischen Reihe andie ihr zum Grunde liegende Idee einer ununterbrochnenLinie. Die Darstellung dieses schönen Theorems mögedenn die Betrachtung der figurirten Zahlen und der dar-aus entspringenden arithmetischen Formen beschließen.

2Z. Die oben (21) gegebene Form zur Bestimmungeines Gliedes der Hauptreihe an der Stelle istgleichbedeutend mit dieser:

l> —n) c , u(u—n)(n—2N) ck .

-l? —-I—a----—

n 1. 2. n- I. 2. Z. N*

Man nenne die Quotienten u. s. w.: Diffe-

renzverhältnisse; n ist die Zahl, welche anzeigt, in wieviel Theile der Zwischenraum zweier Hauptglieder der

Reihe, z. B. «, b eingetheilt worden ist; ist der

Zwischenraum je zweier nächsten Glieder, die zwischendie Hauptglieder «, b',, c" u. s. w. fallen, und vonwelchen das der n«» Stelle gesucht wird.

Man sieht aus der aufgestellten Form, wie dieseGlieder bestimmt werden, durch die Differenzverhältnisse

u. s. w., die hier die Stelle der Differenzen

selbst vertreten.