schwindet in 4) die Wurzelgröfse, und es reducircn sichbeide Werthe von a auf einen, oder es ist durch diesenPunct x\ y', welches zugleich [da man aus 3) und 2 ) x — x',y = y' erhält] der Berührungspunct ist, nur eine Tan.gente möglich.

Anmerk. 2 . Die Bedingungsgleich. 4) findet man noch ein-facher unmittelbar aus der Gleich, m), ohne diese erst nachx aufzulösen, wenn man bemerkt, dafs in der allgemeinenGleich, ax 2 -f- b X + c = o die beiden Wurzeln x nur danneinander gleich sind, wenn die Bedingung besteht:a) i* — 4 « c = o.

§• 426. Um das Problem der Tangenten noch in derVoraussetzung aufzulösen, dafs der Berührungspunct ge-geben ist, seyen x',y\ x", y" zwei Puncte des Kreises,von denen der erstere der Berührungspunct der Tangentewerden soll; so ist die Gleich, der die beiden Puncte ver-

bindenden Geraden: 1 ) y—y =

y‘-

- (x — x). Wirdx' — x‘ x '

diese Gleich, mit den beiden folgenden 2 ) x 2 -)- y 2 = r 2und 3) x " 2 -)- y ” 2 = r 2 , welche eben ausdrücken, dafs diebeiden Puncte dem Kreise angehören, verbunden; so er-hält man ein System von Gleichungen für die durch die bei-den genannten Puncte gehenden Secante. Die Gleich, 3),von jener 2 ) subtrahirt, gibt die Gleichung:

4)

y—y

X'~\- x“

r+ r

welche eine der 3 vorigen, z. B. jene 3), ersetzen kann.Wird sonach diese Gleich. 4 ) mit jener 1 ) verbunden, soerhält man eigentlich für die in Rede stehende Secante das

System der beiden Gleichungen : y — y=> — ——y,, (* — x)

und x % •\-y i = r 2 . — Soll nun aber diese Secante imPuncte x,y zur Tangente werden, so darf man nur (da-mit der 2 . Punct a", y " mit jenem x, y zusammenfälll)x '= x und y"= y setzen; man erhält dadurch aus denvorigen Gleich, für die Gleichungen der Tangente :

5) y — y — — — (a*—■*’) und 6) x 2 -|- y % = r 2