3) Zur Bestimmung des Integrals fsinx• cos t 3 dx hat man(nach §. 3su) sin x' cos .r 5 = (I — JL cos 2T)(i cos x -|- -J- cos 3a:)= | cos x -f- i cos 3r — J. cos x cos 2 X — 1 cos ix cos 3t. Sub-stituirt man diese YVerthe in das gegebene Integral und führtdie Integration nach den Formeln der beiden erwähnten §§. aus,so erhält man nach einer ganz einfachen llcduction:

fsinx - cos r dT ~ i- (sin x — L sin 3t — _L sin 5t) -)- C,

oder, wenn man wieder auf die einfachen Bögen zurüebgehen■will, nach gehöriger Substit. und llcduction, auch:

/sin t- cos 1 dx — 1 sin t s — i. sin t 5 -f- C.

§• 820 . Um jedoch diese vielen Substitutionen zuersparen, kann man für das Integral fsinx* cosx m dx , undzwar für positive und negative ganze Exponenten n und m,folgende Reductionsformeln entwickeln: Setzt man sinx^z,

so wird cosx = \/i — z 1 , cosxdx = dz , also dx =— ^ ■

m — t

und y ■== fsinx* cos x m dx = fz*dz (\•—z J ) * .

Setzt man nun in den Reductionsformeln ü) und ff),

§§. 796, 797, a= 1 , b =—1 , m ra 2, jd = ”* 1 , läfst re

ungeändert und schreibt z statt t; so erhält man, wennKürze halber 1—z ä = Z gesetzt wird:

7 =

Z =

m 1

zn—i Z a

— (m + /i)m -J- 1

z“-)" 1 Z 1

/l 1

-j- —;— fz *—‘ 1 dzZ 1 und

772 fl, "

m — 1

_ m + , L± , dzZ - T -n 4- 1 ^

oder, wenn man in diesen beiden Formeln (in deren letz-tem man n gleich negativ nimmt) wieder auf die ursprüng-lichen Werthe in x zurückgeht, indem

z = sin x, Z ’ = y/1— z z = cos t, dzZ ’ = dx,

m — 1 Tn -J- 1

also dzZ * = cosx m dx, dzZ 1 = cosT' ,^ 'i■ ^ cZt u. s.w.

ist; so erhält man die besondern Reductionsformeln :