i 'fi

24

CAR OLI FRIDERICI GAUSS

'ildE ddF

uf - 2 '

Sdd E

-2{EG- FF) - 2

d p . d q 1 d /;

AAG\

+ TjFj

12 -

Quum indefinite habeatur

da; 2 4~ dy 2 + ds 2 ~ Edp 2 4- 2 Fdp . d q J- Gdq 2 ,

palet, V (Edj) 2 + 2Fdp.dq -f- Gdq’ 2 ) esse expressionem ge-neralem elementi linearis in superficie curua. Docet itaque analy-sis in art. praec. explicata, ad inueniendam mensuram curuaturaehaud opus esse formulis finitis, quae coordinatas x, y, z tamquamfunctiones indeterminatarum pq exhibeant, sed sufficere expres-sionem generalem pro magnitudine ciuiusuis elementi linearis. Pro-grediamur ad aliquot applicationes huius grauissimi theorematis.

Supponamus superficiem nostram cumam explicari posse inaliam superficiem, curuam seu planam, ita vt cuiuis puncto priorissuperficiei per coordinatas x,y , z determinato respondeat punctumdeterminatum superficiei posterioris, cuius coordinatae sint x', y , z'.Manifesto itaque x', y, z quoque considerari possunt tamquam fun-ctiones indeterminatarum p, q, vnde pro elemento (da' 2 d y' 2-J- d z' 2 ) prodibit expressio talis

V (E'dp* + 2 F'dp . d q -f G'dq 2 )

denotantibus etiam E', F', G' functiones ipsarum p, q. At peripsam notionem explicationis superficiei in superficiem pafet, ele-menta in vtraque superficie correspondentia necessario aequalia esse,adeoque identice fieri

E = E\ F = F', G “ G'.

Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium

Theorema. Si superficies curua in quamcunque aliam super-ficiem explicatur , mensura curuaturae in singulis punctis inua-riatct manet.