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Falle, worunter der der gewöhnlichste ist, daß wenn dieGleichung eine rationale Wurzel hat, man diese durchProbiren findet, wie bei der Cubikwurzel ist gezeigt wor-den, da jede Wurzel jedesmal ein Theiler des letztenGliedes seyn muß."

Dann untersucht Euler noch in einem besondern Kapi- !tel die Auflösung der Gleichungen durch Näherung, wel-ches der einzige Weg ist, fie zu finden, sobald sie nichtrational find. Hiebei wird aber vorausgesetzt, daß manden Werth ihrer Faktoren in ganzen Zahlen schon kennt, lDieser Näherungsweg besteht kürzlich in folgendem:Eine zweitheilige Wurzel besteht bekanntlich aus a-stb,also ihr Quadrat istaL-st2aK-stKk>. Dieses bbist sehr klein, sobald b klein ist, und man kann es dannohne merklichen Fehler weglassen. Z. B. a sey — 4undb —4, so hat man (4-st 4 )^ — > 6 -st 4-st 4 — 204.

Mau habe die Wurzel aus 00 zu suchen, so weiß man,daß fie zwischen 4 und 5 liegt und größer als 4 ist.Das was sie größer als 4 ist, nenne man x; so hatman (4 -st — 16 -st 8 x -st x x. Da xx sehrklein ist, so lasse man es weg, so ist das Quadrat— 16 -st 8 x> 20 und 8 x — 4 , also x — 4 unddie Wurzel 4 -st l? — 44-

44 ist aber noch nicht die genaue Wurzel, obschongenauer als 4. Man nenne dasjenige was zu viel ist,wieder x; so hat man (44-st?)^ — ^o^-sty^-j-xx.Da xx jetzt noch kleiner ist wie das Vorigemal, so lasseman es wieder weg. Also 204 -st y x — 20 woyx — — 4 wird, und x — — Folglich ist die

Wurzel x — 44 — — 444. Und auf diese Weise

kann