Zo6

Beweis.

Es sey Fig. 5 . Taf. V. c der Mittelpunkt der Ku-gel, auf deren Oberfläche drei Bögen, sd, as und kl-ein Dreieck bilden, das bei d rechtwinklig ist.

Man verlängere die beiden erstem Bögen bis in knud

, wo sie — 90° sind. So hat man 3 ek und 3 dii — 90°/weil diese Winkel durch die Bogen ab und ak gemessenwerden, und kc und iic stehen auf a e senkrecht. Fer-ner istbc —Kc-^ec —dc — ac, weil alle Radien derKugel sind, und der Bogen kk ist das Maaß des Win-kels kad, den wir a nennen wollen.

Man lasse die Senkrechten auf c!i, ei auf cd,und eä auf ac fallen, und ziehe die Linie äi, auf wel-cher 61 senkrecht ist, weil ä 1 in derselben Ebene liegt,worauf die Ebene i> e e senkrecht steht.

Die Dreiecke eiä und k§o sind einander ähnlich, undihre Ebenen einander parallel. Denn e ä und kc sind ein-ander parallel, und ei und k§ auch, da sie senkrecht auf der-selben Ebene 3 i> K c stehen. Daher ist ä l auch c § parallel.

Es verhält sich also äs : ei — c k.k§. Aber äeist der Sinus vom Bogen 3 e, ei ist der Sinus vorn Bo-gen e k>, c 5 ist der Radius oder 8in. roru8, der im-mer — 1 ist, und k§ ist der Sinus vom Bogen kir odervom Winkel a.

Man hat also:

Lin. a e : 8 in. eb ^ 1 ; 8 in. 2.

Verlängert man die Bogen e i> und e 3 vom Punkte e bis90°, so hätte man auf dieselbe Weise:

Liir. a e : 8in. i> 3 ^ 1 : 8in. e.

Es verhält sich also in jedem rechtwinkligen sphärishenDreiecke der Sinus der Seite, die dem rechten Winkel

gegen-