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formément retardé, lorsque la vitesse diminue. Tout ceque nous allons dire ici sur le mouvement uniformé-ment accéléré s’applique également, dans un ordre in-verse, au mouvement uniformément retardé.
La force qui produit un mouvement uniformémentaccéléré est donc une force accélératrice constante ;c’est-à-dire qu’elle agit constamment sur le mobile dela même manière, en augmentant sa vitesse d'une quan-tité égale en temps égaux pendant toute la durée dumouvement. Pour se rendre compte de l’effet d’unetelle force, on doit concevoir le temps pendant lequelelle agit comme divisé en une infinité d’intervalleségaux et infiniment petits, au commencement de chacundesquels la force accélératrice donne au mobile unenouvelle impulsion. Alors , considérant le mouvementcomme uniforme pendant la durée de chaque intervalleen particulier, le mouvement accéléré se composerad’une suite de mouvemens uniformes d’une même du-rée infiniment petite, et de vitesses différentes. Ainsi,désignant par <p la vitesse pendant le premier intervalle,les vitesses suivantes formeront la progression arithmé-tique ,
2 <P, 3 <p, 4 <P , 5 tp, 6 <p . t<p,
t désignant le nombre total des intervalles ou le tempsdu mouvement. Nommant donc v la vitesse finale oula vitesse acquise pendant le temps t , on aura l’équa-tion (a)
o— t<p.
Mais pendant le temps d’un mouvement uniforme,les espaces parcourus par le même mobile sont propor-tionnels aux vitesses, et peuvent conséquemment se re-présenter par ces vitesses. Donc l’espace parcouru pen-dant chaque instant successif infiniment petit est égal àla vitesse de cet instant, et la somme de tous ces espacesou de toutes ces vitesses est égalé a 1 espace total par-couru pendant le temps t. Désignons cet espace par e,nous aurons
e = <p-\- r 2<p . + t 4 >.
Or, la somme des termes du second membre de cette.\ égalité est j(tp-\-ttp) t ou '-{$ + v) t, à cause de t<p = e.r ( Voyez Progressions arithmétiques.) Nous avons donc
] e = \{<p-\-v)t,
i
fP, représentant la vitesse pendant le premier instantinfiniment petit, est une quantité infiniment petite,puisque le mobile était en repos au commencement decet instant, elle doit donc être considérée comme o parrapportà v. ( Voyez Calcul différentiel.) Ainsi, en laRetranchant, on a définitivement (b)
e =\vt.
II résulte d’abord immédiatement de l’équation (4)une considération importante. Si nous prenons le temps tpour l’unité de temps, nous avonse = ji>; ainsi l’espaceparcouru dans la première unité de temps est la moitiéde la vitesse acquise a la fin de ce temps. Or, commeon peut prendre pour unité tel intervalle de tempsqu’on voudra, on a donc cette proposition générale :Une force accélératrice constante communique à unmobile dans un temps quelconque une vitesse double del’espace qu’il a parcouru dans ce même temps. Si doncaprès un intervalle de temps quelconque la force accé-lér atrice cessait d’agir, et que le mobile continuât à semouvoir d’une manière uniforme avec la vitesse acquise,cette vitesse lui ferait parcourir dans un second inter -valle , égal au premier, un espace double de celui qu’ila parcouru dans ce premier.
Si nous désignons maintenant par v une autre vitesseacquise dans un autre temps t’, et par e' l’espace,par-couru , nous aurons également
v' — t'ip et e' = \v't'-,
des deux expressions v = tq> et v' = tf, on déduit laproportion
v : v' : : t
c’est-à-dire que les vitesses finales sont proportionnellesaux temps pendant lesquels elles ont été acquises.
Les deux expressions e = \v> et é = \v't' deviennente = <pt % , e' — <pt en y substituant à la place de v et de v’leurs valeurs t<p et t'<p. On a donc aussi la proportion
e : e' P : *'»:
ce qui nous apprend que les espaces parcourus sontentre eux comme les carrés des temps.
Il suit de cette dernière proposition que , si un co psmu d’un mouvement uniformément accéléré parcourtdans un temps donné un espace également donné, ilparcourra dans un temps double du premier un espacequadruple, et généralement que si les temps forment laprogression arithmétique
i, 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7, 8, g, io.
Les espaces parcourus seront
4 > 9> 16, 25 , 36 , 4g, 64, 8i, ioo.
Or, en prenant la différence de chacun des termes decette dernière suite avec celui qui le précède, nous au-rons les espaces parcourus dans chaque instant en parti-culier. Ces différences sont :
i, 3 , 5 , 7 , 9, n, 1 3 , 1 5 , 17, 19.
Donc les espaces parcourus successivement dans desportions égales de temps sont entre eux comme la suitedes nombres impairs.
Les deux équations (a) et ( 4 ) renferment toute la tliéo-r *e du mouvement uniformément accéléré .
Ainsi, connaissant l’espace g parcouru pendant lapremière seconde d’un mouvement uniformément accé*