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AC

AC

l soit la longueur de la corde AB', en abaissant du pointB’ la perpendiculaire B'C sur le diamètre, AC sera lahauteur h du plan incliné AB'; désignant donc le dia-mètre AB par d, nous avons, dans le triangle rectangleAB'B ( Voy. Cercle) , AB' 1 = AB X AC ou l 1 = dh.Substituant cette valeur de Z 1 dans celle de t, elledonne

expression indépendante de la corde AB', et qui con-vient également à toutes les autres. Mais \/— exprime

le temps de la chute par le diamètre AB. Donc, dans uncercle, toutes les cordes sont parcourues dans le mêmetemps que le diamètre.

Mouvement variable accéléré'. Lorsqu’une force accé-lératrice varie pendant le temps qu’elle agit sur le mo-bile, la vitesse acquise dans chaque unité de temps va-rie également, et le mouvement produit n’est plus uni-formément accéléré. Dans les corps pesans tombantd’une grande hauteur, la variation de la gravité due àleur rapprochement du centre de la terre, nous offrel’exemple d’un pareil mouvement; le frottement et larésistance des fluides nous présentent aussi des exemplesde mouvemens variés. Quelle que soit la nature du mou-vement varié, l’espace parcouru, la vitesse acquise àchaque instant et la force accélératrice sont trois fonc-tions du temps liées entre elles par des lois.

Représentons, comme ci-dessus, le temps par t,l’espace parcouru par e, la vitesse acquise par v, et laforce accélératrice par ç. Cela posé, si nous concevonsqne le temps l croisse d’une quantité infiniment petitedt (dt est ce qu’on nomme la différentielle det), l’es-pace parcouru croîtra d’une quantité correspondante de,mais, comme nous pouvons supposer que, pour parcou-rir cet espace, le mobile n’a été animé que de la vi-tesse v, qu’il avait au commencement d a dt, nous au-rons de = vdl, d’où (y)

de

V ~~dt

première équation fondamentale.

Pour pouvoir mesurer la force que nous avons dési-gnée par ip , il faut la comparer avec une force accéléra-trice uniforme , et, conséquemment, il faut prendre lesvitesses produites dans des intervalles de temps infini-ment petits, afin qu on puisse considérer l’intensité deces forces comme constante pendant ces instans. Soitdonc f une force accélératrice uniforme, qui communi-que au mobile une vitesse v pendant l’unité de temps,v'dt sera la vitesse due à cette force pendant l’instant dt ;mais, pendant le même instant dt, la force <p produitune vitesse dv, car la vitesse du mobile étant e à la fin

du temps t, et v -J- dv à la fin du temps t -f- dt, dv est lavitesse produite pendant le temps dt. Nous auronsdonc

d’où

<p •.f:\dv. v'dt ;

f dv

*-~v'-di-

On simplifie cette expression en supposant que f soitl’unité de force et v' l’unité linéaire; c’est-à-dire en pre-nant pour unité de force celle qui produit dans l'unitéde temps une vitesse égale à l’unité de longueur. Parcette considération, la valeur de <p devient

dv

<P = dï ‘

Mais, en différenciant l’équation (j),ona dv = ;

substituant cette valeur de dv dans celle de <p , elle de-vient (z)

d 7 e

seconde équation fondamentale.

En prenant la pesanteur pour l’unité de force, et laseconde pour l’unité de temps, l’unité linéaire seraégale à q'" ,8088, ou au double de la quantité que nousavons désignée ci-dessus par g. Exprimant donc, aumoyen de ces unités, le temps et les quantités linéairesqui entrent dans les deux équations (y) et (z), ces équa-tions nous feront connaître, en les intégrant, les rap-ports des données avec Les inconnues des problèmesqu’on peut se proposer sur le mouvement varié.

Nous nous contenterons ici d’une application impor-tante , celle de déterminer le mouvement d’un corpstombant verticalement dans le vide, en ayant égard àla variation de la pesanteur.

Soient r le rayon de la terre, 2g la pesanteur à sasurface, h la distance du mobile au centre de la terre ,à l’instant où le mouvement commence.

Lorsque le corps aura parcouru un espace e en tom-bant, sa distance au centre sera h — e; par conséquent,sa-pesanteur, ou la force accélératrice qui agit sur lui,sera donnée par la proportion

<p-.2g-.: z 11 : (h —e) 1 ,

l’action de la pesanteur étant en raison inverse du carréde la distance ( Voy. Attraction).

On tire de cette proportion

<P

(h-ey

Substituant cette valeur de <? dans l’équation (z), elledonne pour l’équation du mouvement cherché

d’e

dF

(A — e)>‘