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tions d’un même objet ou d’objets semblables nousdonnent la conception du nombre deux et par suitecelle des nombres 3, 4> 5,6, etc. Les nombres se pré-sentent donc d’abord à l’intelligence comme de simplesagrégats d’unités, et le premier mode de constructionqu’elle peut embrasser est de continuer indéfinimentcette agrégation d’unités, pour s’élever successivementà des nombres de plus en plus grands, depuis l’unitéprimitive jusqu’à Y infini, qui n’est lui-même que l’unitétotale. Nous avons, dans les Notions préliminaires,assigné à ce mode de construction la forme générale

« -f- b = c

a et à exprimant des quantités quelconques d’unités etc le nombre formé par la réunion ou la somme de cesunités.

Si nous étions bornés à ce mode primitif de construc-tion, toute la science se réduirait évidemment à l’addi-tion et à la soustraction, qui n’en est que la considéra-tion inverse, et nous ne connaîtrions d’autres nombresque les nombres entiers ; mais ces nombres étant unefois construits, l’entendement s’en empare, y appliqueses facultés diverses, et s’élève à de nouveaux modes deconstructions qui nous font successivement connaîtred’autres espèces de nombres soumis à de nouvelles con-sidérations. C’est ainsi que du mode primitif a -f- b = c,nous parvenons au mode intermédiaire a X b = c, etenfin au mode final a 6 = c.

Ces trois modes de construction des nombres étant,comme nous le verrons plus loin, les seuls possibles,c’est d’eux que nous devons déduire la nature particu-lière de toutes les espèces de nombres, ainsi que les loisgénérales qui les régissent; reprenons donc les troisformes

a b = c, a y, b = c, a 6 = c

et généralisons ce que nous avons exposé dans les no-tions préliminaires.

La première forme a + b = c ne peut, comme nousl’avons déjà dit, nous faire connaître que les nombresentiers : la conception du 'nombre c étant dans tous lescas celle d’un agrégat d’unités tant que a et à sont eux-mêmes de tels agrégats : mais l’égalité a b = c nousdonnant nécessairement l’égalité inverse c — a = b,cette dernière devient, à son tour, susceptible d’être con-sidérée dans toute sa généralité, indépendamment desvaleurs particulières de c et de a, et doit toujours nousdonner la construction du nombre b , quels que soienta et c. Or il se présente un cas remarquable dans cetteconstruction, c’est celui où, dans l’expression généralec — a = b, on a c a, et où il est conséquemment im-possible de retrancher a de c. Dans ce cas supposons que

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l’excès de a sur c soit d ou que l’on ait a — c -f- d ;alors c — a deviendra

c — c — d

puisqu’il est évident que pour retrancher a de c il fautretrancher les deux quantités c et d qui lui équivalent,et l’on aura, c — c se détruisant,

c — c — d — — à

L’idée que nous pouvons attacher au nombre d, pré-cédé ainsi du signe—, est celle d’une quantité ayantune fonction de diminution, car partout où elle entreraelle opérera une soustraction. Nous sommes donc ame-nés à reconnaître dans les nombres, indépendammentde leurs grandeurs, une qualité d’augmentation et dediminution, et c’est ce qu’on appelle état positif oune'gatif d’un nombre. Nous désignerons donc, selonl’usage , par le nom de nombre positif tout nombre quia une fonction d’augmentation, et par celui de nombrenégatif, tout nombre qui a une fonction de diminution.

3. Il est important de remarquer que l’état positif ounégatif d’un nombre n’exerce aucune influence sur lagrandeur de ce nombre considéré isolément, maisqu’elle influe d’une manière majeure sur celle du résul-tat des opérations d’addition ou de soustraction danslesquelles il peut entrer. En effet, si nous désignonstoute quantité positive par ( A), et toute quantité

négative par ( — B), l’addition de ces quantités seraexprimée par

( + A)+(-B)

ou par A — B, en ne considérant que la grandeur desnombres A et B, puisque la fonction de diminution dunombre ( — B ) lui fait opérer une soustraction partoutoù il peut être placé. Quant au résultat de l’opération,il sera positif si l’on a A B et négatif si l’on a A < B.C’est ainsi, pour donner un exemple de cas parti-culiers , qu’on trouve :

( + :) + (-*) = 7 — 4 = ( + 3 )

(+:) + ( — 9) = 7 —9 = ( — a )*

Si le nombre auquel on ajoute un autre nombreétait lui-même négatif, il entrerait également dans l’opération avec sa fonction de diminution. Il est donc facile de voir qu’on aurait aussi

( — 7) + ( — 4 ) = — 7 — 4 =( — ")

( — 7 ) 4- ( + 4 ) « — 7 + 4 = ( — 3 ) .

Nous conclurons donc que, lorsque les quantités qu’onadditionne sont toutes deux positives, ou toutes deux né-gatives, le résultat est égal, en grandeur, à la somme d eces deux quantités , mais positif dans le premier cas etnégatif dans le second ; que, lorsque ces quantités sont