AL

de natures différentes, le résultat est égal à leur diffé-rence , et de même nature que la plus grande.

4- La soustraction opérée à l’aide des mêmes quantités(+ A), ( — B), sera exprimée par

( + A- ) — ( ®) >

ou simplement par A + B, car il faut considérer que Bayant une fonction de diminution, diminuerait ( + A)s’il lui était ajouté; il doit donc opérer un effet con-traire, lui étant soustrait. L’opération delà soustractionest donc ici artificielle ; et soustraire un nombre est lamême chose que l’ajouter en changeant le signe de saqualité. Nous aurons, par la même raison,

(_A) —( —B)=—A + B.

D’où nous tirerons les exemples particuliers suivans,qui embrassent tous les cas de la soustraction :

( + 8)-( + 4) = 8-4 = (+ 4)

( + 8) —(-4) = 8+4=( + ia)

( — 8) — ( -h 4) = —8 —4 = (—la)

( — 8) — ( — 4) = -8+ 4 = (- 4)-

5. Les anciens mathématiciens commençaient leurs ou-vrages élémentaires par l’exposition de certaines propo-sitions nommées axiomes, sur lesquelles ils établissaientsuccessivement leurs théorèmes, en suivant une marcheprogressive ou synthétique.

Ces axiomes sont des propositions évidentes par elles-mêmes , et dont la certitude , fondée sur le principe lo-gique de contradiction ( principium conlradiclionis etidentitatis) , ne peut admettre aucune discussion. Telssont :

i°. Deux quantités égales à une troisième sont égalesentre elles.

i°. Le tout est plus grand qu’une de ses parties.

3". Lorsque deux quantités sont égales, si l’on aug-mente ou si l’on diminue chacune d’elles de la mêmemanière , les résultats sont égaux.

Dans une égalité quelconque M = N , les quantitésM et N se nomment les membres ; particulièrement Mle premier membre , et N le second. En leur appliquantle troisième axiome ci-dessus, on peut encore le généra-liser de la manière suivante :

Quelles que soient les opérations qu’on puisse exécu-ter sur lç premier membre M de l'égalité M = N, si l onfuit subir les mêmes opérations au second membre N ,les deux résultats seront égaux.

Nous avions besoin de poser cette proposition évi-dente pour ce qui va suivre.

6. Jusqu’ici nous avons considéré chaque nombrecomme formé seulement par l’addition de deux autres ;mais il est facile d’étendre ce que nous venons de dire ;

AL iO

car, si nous avons une suite de nombres construits de lamanière suivante :

a+b=c, c+d=e, e+f=g, g+h=i, i+k=zl, etc.,nous obtenons immédiatement la forme générale :a -j- b -f d +/+ h -f k + etc.... = M.

D’où nous pouvons conclure qu’un nombre peut êtreformé par l’addition d'une quantité quelconque d’au-tres nombres. Lorsque tous les nombres composans sontégaux, ou lorsqu'on a

a^-a-\-a-\-a-\-a- f- etc.... = c,

c désignant la somme, la construction de c devient ré-gulière, et s’exprime par ay.b=c . b désignant laquantité des nombres a (Notions preum. , 3).

La génération du nombre c, obtenu de cette manièreà l’aide des deux nombres a et b, diffère essentielle-ment de la génération primitive que nous venons d’exa-miner, et constitue conséquemment un nouveau modede construction des nombres.

y. Nous devons d’abord remarquer que, quelquedifférentes que puissent être les idées qu’on attache auxfonctions des nombres a et b dans la génération a%b=cdu nombre c, ces'deux nombres entrent de la mêmemanière dans cette génération, c’est-à-dire qu’on a

a X b = b X «•

En effet, a X b , ou, pour mieux fixer les idées,4X3

désigne 4 -f- 4 4" 4 j ma is 4 — 1 + r ■+■ 1 + > : ainsi >4 X 3 est la même que la somme des unités

i + i + i + 1>+i+i+ i1 + 1 + i -j- 1 •

Or, de quelque manière qu’on opère l’addition de cesunités , soit en les comptant par tranches horizontales ,soit en les comptant par tranches verticales, on obtien-dra nécessairement le même résultat. Mais de la pre-mière manière on a 3 fois 4 unités, et de 1a seconde4 fois 3 unités; donc

4 X 3 = 3 X 4’

Il est facile d’étendre cette démonstration aux nom-bres quelconques d’unités a et b.

8. Ce mode de construction a, comme le précédent,sa branche directe et sa branche inverse. La branche di-recte constitue l’opération de la multiplication que nousvenons de déduire; la branche inverse, celle de la divi-sion dont la forme générale est

-=b.

a

Avant d’examiner plus particulièrement les nombre#