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qui peuvent être construits par ces nouvelles opérations,il est important de considérer l’influence que peut exer-cer sur la nature de leurs résultats l’état positif ou né-gatif des nombres sur lesquels on opère.

9. La grandeur d’un produit ne reçoit aucun change-ment de la qualité particulière de ses facteurs. Quant àsa qualité, il se présente trois cas pour la déterminer :i° les deux facteurs sont positifs; 2 0 les deux f.cteurssont négatifs; et 3 ° l’un des facteurs est positif, et l’autrenégatif.

Lorsque les deux facteurs sont positifs, le produit estpositif; car (-J-A)X( + B) est la même chose que( + A ) + ( -f- A) -f- ( -j- A ) —f- etc., dont la somme estnécessairement positive.

Lorsque les deux facteurs sont négatifs, le produit estencore positif, car (—A)X(—B) désigne que laquantité ( — A ) est ajoutée négativement B fois à elle-même, ce qui est la même chose que (a)

— ( — A) — (— A) — (— A) — (— A) — etc....

Or, nous savons ( 4 ) que — ( — A) = -J- A j ainsi, l’ex-pression (a) est la même chose que

+ A -f A + A + A + A -f A + etc....,dont la somme est positive.

Lorsqu’un des facteurs est négatif et l’autre positif,le produit est négatif; car ( — A) X ( + B) est l’ex-pression abrégée de

(-A)+(-A) + (-A) + (-A) + etc...,ce qui revient ( 3 ) à

—A—A—A—A—A—A—A— etc...,

dont la somme est évidemment négative.

Si au lieu d’avoir (— A) X ( + B) on avait (-|- A) X(— B), le produit serait encore négatif, puisque (-j- A) X(— B) = (— B) X (+ A).

La règle générale est donc cplle-ci : Le produit est po-sitif lorsque ses deux facteurs ont le même signe ; et ilest négatif lorsqu ds ont des signes différais.

10. Dans l’opération de la division il se présente éga-lement trois cas différens pour déterminer la qualité duquotient à l’aide des qualités du diviseur et du divi-dende, savoir :

i°. Le diviseur et le dividende sont positifs; et alorsle quotient est aussi positif; car dans l’égalité géné-rale

c devant etre produit par la multiplication des facteursa et b, il faut que ces facteurs soient tous deux positifs'ou tous deux négatifs, pour que a puisse être positif.Ainsi, dans le présent cas a étant positif, b est égale-ment positif.

a 0 . Le dividende est positif, et le diviseur négatif;

alors, par la même raison que ci-dessus, le quotient estnégatif. Si le dividende était négatif et le diviseur po-sitif, il est facile de voir que le quotient serait encorenégatif.

3 °. Enfin le dividende et le diviseur sont tous deuxnégatifs ; dans ce cas, le diviseur est nécessairement po-sitif, puisqu’il faut que les facteurs aient des signes dif-férens pour que le produit soit négatif.

La règle générale est donc la même que celle de lamultiplication; c’est-à-dire que le résultat de la divisionest positif lorsque les nombres sur lesquels on opère sonttous deux de même signe, et quil est négatif lorsque cesnombres ont des signes différens.

11. La formation d’un nombre entier au moyen defacteurs suppose l’existence de certains nombres entiersqui ne peuvent être décomposés en facteurs; car, sidans la génération générale A X B = C, on pouvaitconsidérer dans tous les cas l’un des nombres A commeformé aussi par le produit de deux autres nombres A’,B’, et successivement A’comme résultant du produitde A" par B", etc., etc. Les nombres A, A', A" etc.,B, B', B", etc. devenant de plus en plus petits, onpourrait continuer cette décomposition jusqu’à ce queles derniers facteurs fussent égaux à l’unité. Mais 1 X 1ne donne jamais que t : on 11e peut donc admettre gé-néralement une telle décomposition; et il existe néces-sairement des nombres entiers qui ne peuvent être for-més par le produit d’autres nombres entiers.

Ces nombres se nomment nombres premiers. Telssont 2, 3 , 5 ,7 , ii, i 3 , 17, etc., dans la suite des nom-bres naturels r , 2 , 3 , 4 , 5 ,6, etc. Tous les autres peu-vent être formés par leurs produits.

Ainsi, dans l’expression AXB = C si l’on supposeA formé par le produit de deux nombres premiers a età; et B par celui des nombres premiers c et d, le nom-bre C sera le produit des quatre nombres a , b, c, d, etl'on aura

a.b.c.d — C.

Le moyen d’opérer cette décomposition d’un nombreen ses facteurs premiers 11’est point ici notre objet(voyez Facteurs) : nous nous contenterons d’observerque, quel que soit l’ordre des facteurs, le produit esttoujours le même, et qu’on a

a.b.c.d — a.c.d.b = b.c.d.a = etc ;

ce qui est la conséquence de la propriété a.b = b.a. (7)

12. Lu construction des nombres par la division gé-nérale

présente un cas particulier remarquable : c’est celui oùle nombre B contient des facteurs premiers qui 11e setrouvent pas dans C. Par exemple, soit C composé