AL

AL

51

des eux facteurs premiers a, b, et B composé des deuxfacteurs premiers a.d, on aura

C_ a. b

B a.d'

Or, si l’on avait simplement a.b à diviser par a, le quo-tient serait évidemment égal à b. Mais, au lieu de divi-

, b

s er par a il faut diviser par a.d. Ce quotient est donc

Les deux nombres b et d étant des nombres premiers,L division de b par d est impossible; car on ne peutavoir b = d'yC.m , puisque b est indécomposable en fac-teurs. Donc la division de C par B , qui se réduit à cellede b par d n’est pas possible. Il en serait encore demême si les nombres C et B étaient premiers entre eux,c’est-à-dire s’ils n’avaient aucuns facteurs communs.

même raison, pour la fraction f, qu’on énonce en di-sant sept neuvièmes, on suppose que l’unité est diviséeen neuf parties, et que la fraction en contient sept.Ainsi de même pour tous les autres cas. On donne engénéral le nom de numérateur au dividende, et celui de

dénominateur au diviseur. Ainsi, dans la fraction^,

a est le numérateur et b le dénominateur, a et b senomment encore les deux termes de la fraction.

i3. Il résulte immédiatement de la construction desfractions : i° qu’on les multiplie en multipliant leurs nu-mérateurs ou en divisant leurs dénominateurs. En ef-fet, si -l’on multiplie le numérateur a d’une fraction ^

par un nombre quelconque m , elle devient a -~ ; or, le

Cependant, le nombre A qui répond au quotient g,

devant toujours être obtenu , quels que soient C et B ,nous sommes conduits à reconnaître l’existence d’unea utre espèce de nombre que celle des nombres entiers,dont nous nous sommes occupés jusqu’ici. En effet, sup-posons C = 3, B = 2 , nous aurons

La valeur de A est donc plus grande que i, et plus pe-ble que a, et n’est point par conséquent un nombre en-tier. '

Ces nombres nouveaux, dont la division vient denous donner la génération, se nomment Fractions . Ilon existe une infinité dont les grandeurs sont entre o ett, i et a, a et 3, etc. Dans l’arithmétique, on ne nommeproprement fractions que ceux de ces nombres comprisentre o et i , c’est-à-dire dans lesquels on a B C; lesautres se nomment nombresfractionnaires, parce qu’eneffectuant la division autant qn’elle est possible on peuttoujours les réduire à une fraction. §, par exemple, estla même chose que i Quoi qu’il en soit, nous dési-rerons sous le nom de fraction tous les nombres de la

forme g lorsque la division ne peut donner pour quo-

hent un nombre entier.

La manière d’énoncer les fractions dérive de l’opéra-b°n q u ; l cs f a it naître. Ainsi, pour énoncer la fraction |,°u dira la huitième partie de sept; pour énoncer la frac-tion f , on dira la quatrième partie de onze , etc. Dans1 arithmétique, comme on ne nomme fractions quec olles de ces quantités qui sont plus petites que l’unité ,°u les considère comme des parties de l’unité ; et au lieude dire, par exemple, la troisième partie de deux pourénoncer la fraction |, on dit deux troisièmes ou deuxtl ?rs. Ou suppose alors que l’unité est di'visée en troisParties, et que a représente deux de ces parties. Par la

dividende devenant m fois plus grand, doit contenir mfois davantage le diviseur. De même, en divisant le

dénominateur b par m , la fraction devient ■=-, et le

r b : m

diviseur étant m fois plus petit doit être contenu m fois

davantage dans le dividende. On a donc

a.m a

b b • m

i°. Qu’on divise une fraction en divisant son numéra-teur ou en multipliant son dénominateur. Car , dans lepremier cas, en nous servant des mêmes nombres que

ci-dessus, la fraction devient m . e t ; dans le second,

; or, lorsque le dividende devient m fois plus peti

par la division , il contient m fois moins le diviseur; etlorsque le diviseur devient/» fois plus grand par la mul-tiplication , il est également contenu m fois moins dansle dividende. On a donc aussia : m a

b b.m

3°. Qu’une fraction ne change pas de valeur lorsqu’onmultiplie ou qu’on divise ses deux termes par le mêmenombre. Effectivement, dans le premier cas la fraction

devenant , le dividende et le diviseur deviennentb.m

tous deux m fois plus grands qu’ils n’étaient ; le premiefne peut donc contenir le second qu’autant de fois qu’ille contenait avant la multiplication ; c’est-à-dire que lafraction conserve la même valeur; dans le second cas,.

la fraction devenant ~ m le dividende et le diviseurb : m

deviennent tous deux m fois plus petits; et, conséquem-ment, le second ne peut être contenu dans le premierque le même nombre de fois qu’il l’était avant la divi-

a.m a:m , i„

sion. Les deux expressions -=— , -, -, ont uonc

1 b.m b : m

même valeur.