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sa

AL

14. Il suit des propriétés précédentes que si les deuxtermes d’une fraction avaient un facteur commun , onpourrait le retrancher sans changer la valeur de la frac-

tion. Soit, par exemple, la fraction g, dans laquelle A

= ap, et B — bp, on aura

A ap aB bp b

en supprimant le facteur commun p.

Lorsque les deux termes d’une fraction n’ont aucunfacteur commun , elle est dite irréductible ou h sa plussimple expression.

i5. On peut exécuter sur les fractions les quatre opé-rations qui nous ont été données par les deux premiersmodes de construction des nombres, savoir: l’addition,la soustraction , la multiplication et la division.

I.es deux premières opérations 11c peuvent s’exécuterimmédiatement que lorsque les fractions sur lesquellesou veut opérer ont le même dénominateur; mais il esttoujours possible de ramener les autres cas à celui-ci,par la propriété que possèdent ces nombres de pouvoirchanger de forme sans changer de valeur. Par exemple,

si 1 on a plusieurs tractions j , J , 011 peut aisé-

ment les transformer en d’autres fractions qui leur soientrespectivement égales , et qui de plus aient le môme dé-nominateur; il ne faut, pour cela , que multiplier lesdeux termes de chaque fraction par les dénominateursde toutes les autres , et alors elles deviennent

a.df h c.b.f.h e.b.d.h g.b.d.f

bTfh ’ dJfl ' fbJM ’ TÜTdf'

Or, ces fractions ont le môme dénominateur , puisqu’ona b.d.fdi = d.b.fjh = f.b.d.h = li.b.d.f (5); et ellessont égales aux proposées, puisqu’elles ont été forméesen multipliant les deux termes de chacune de ces pre-mières par un même nombre ( 13).

A l’aide de cette préparation , qu’on nomme réduc-tion au même dénominateur, l’addition des fractions neprésente aucune difficulté : il suffit d’additionner lesnumérateurs et de donner à leur somme le dénomina-teur commun. Voy. Addition des fractions.

16. La soustraction des fractions s’exécute en prenantla différence des numérateurs et en donnant à cette dif-férence le dénominateur commun. Par exemple, pour

retrancher — de -2- on retranche 3 de 9, et on donne

au reste 6 le dénominateur commun 11 ; on a ainsi

9 _ 3 _ 9~3 _G

11 n ’ 11 ii'

Les raisons de cette règle sont les mômes que cellesde l’addition. '

O11 a donc en général

a c a—c

b~z = ~~r-

Si les fractions ont des dénominateurs différens, oncommence par les réduire au môme dénominateur, eton opère ensuite comme ci-dessus. Ainsi, pour les deux

fractions générales ^on obtient

a c a.d c.b a.d — c.b

b d b.d b.d b.d

17. Pour multiplier une fraction par une autre frac-tion , il faut multiplier les deux numérateurs l’un parl’autre et les deux dénominateurs l’un par l’autre; lepremier produit est le numérateur du résultat, et le se-

Cl c

cond est son dénominateur. C’est-à-dire que ^ X ^ est

e s al a Y.ci

En effet, en multipliant^ seulement par c, on ob-

Cl c

tient, d’après ce qui a été dit (i3), mais ce pro-

duit est d fois plus grand que celui qu’on demande,

Ç

puisqu’il s’agit de multiplier par et non P as P ar c,et que ^ est d fois plus petit que c; il faut donc rendre

d*c

-L- d fois plus petit; et pour cela il suffit de multiplier

Cl*C

son dénominateur par d,{i 3), le résultat est donc levéritable produit de ^ XOn trouverait par suite que

aces£ X 5 XÿX £ etc.

a. c.e.g,e te.

b. d.f.h,etc.

18.La division des fractions se change en multiplication

en renversant l’ordre des termes de la fraction diviseur;

, , .. a c , . 1 ad

c est-a-dire que ^ ^ est la môme chose que X - =

a.d _ . , -

£-^-. On peut trouver aisément les raisons de cette rè-gle; mais nous en allons donner une démonstration quisera en môme temps un exemple du mécanisme de l’ai-

OC

gèbre. Désignons le quotient cherché par -, x et y

étant des nombres inconnus qu’il s’agit de déterminer,et nous aurons

a c _ x

b’d y

Mais alors -. et - étant les facteurs de t, nous de-d y b’

r ons avoir

---y*-

b~d x j>